Caso 1: urto anelastico con asta incernierata

L’asta è incernierata e il proiettile vi si conficca. Prima di calcolare qualsiasi cosa, la domanda decisiva è: cosa si conserva e cosa no?

• Il momento angolare rispetto al cardine si conserva: la reazione vincolare del cardine ha braccio zero rispetto al cardine stesso, quindi non fa momento.
• La quantità di moto non si conserva: la reazione vincolare impulsiva del cardine trasmette un impulso esterno al sistema.
• L’energia cinetica non si conserva: l’urto è anelastico, parte dell’energia diventa termica.

Polo: il cardine

Il cardine è l’unica scelta ragionevole. Rispetto a qualsiasi altro polo, la reazione del cardine avrebbe braccio non nullo e contribuirebbe con un impulso angolare esterno, rendendo il momento angolare non conservato.

Una incognita ($\omega$, la velocità angolare dopo l’urto con proiettile conficcato) e una equazione (conservazione di $L$ rispetto al cardine):

$\underbrace{m_p v_A L}_{L^A} = \underbrace{I_\text{tot}\,\omega}_{L^B}$

Il momento d’inerzia del sistema (asta + proiettile puntiforme all’estremo) rispetto al cardine è

$I_\text{tot} = \tfrac{1}{3}ML^2 + m_p L^2 = \tfrac{1}{3}\cdot 4\cdot 4 + 0{,}3\cdot 4 = 5{,}33 + 1{,}2 = 6{,}53\;\mathrm{kg\,m^2}$

da cui

$\omega = \frac{m_p v_A L}{I_\text{tot}} = \frac{0{,}3\cdot 900\cdot 2}{6{,}53} \approx 82{,}7\;\mathrm{rad/s}$

L’energia dice quanto violento sia stato l’urto:

$E_\text{cin,A} = \tfrac{1}{2}m_p v_A^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}3\cdot 810\,000 = 121\,500\;\mathrm{J}$

$E_\text{cin,B} = \tfrac{1}{2}I_\text{tot}\omega^2 = \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}53\cdot 82{,}7^2 \approx 22\,320\;\mathrm{J}$

$E_\text{termica} = 121\,500 - 22\,320 \approx 99\,180\;\mathrm{J}$

Circa l’82% dell’energia cinetica iniziale è andato in calore: è il marchio di un urto fortemente anelastico.

Corpo inchiodato in un punto fisso

Per un corpo rigido incernierato in un punto $P$ fisso si può usare direttamente $L = I_P\,\omega$ e $E_\text{cin} = \tfrac{1}{2}I_P\,\omega^2$, dove $I_P$ è il momento d’inerzia rispetto a $P$ (non al centro di massa).

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Conservazione del momento angolare · Urto anelastico Competenze: Scelta del polo Oggetti: Asta

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