Problema — Atwood con puleggia massiva

Testo

Due masse $m_1 = 4\;\mathrm{kg}$ e $m_2 = 6\;\mathrm{kg}$ sono collegate da una fune che passa su una puleggia cilindrica piena ($m_p = 2\;\mathrm{kg}$, $R = 0{,}1\;\mathrm{m}$, $I_p = \tfrac{1}{2}m_p R^2$). Trova l’accelerazione del sistema e le due tensioni.

Soluzione

Tre equazioni: Newton per ciascuna massa e rotazione della puleggia, con il vincolo $a = \alpha R$. $m_2 g - t_2 = m_2 a, \qquad t_1 - m_1 g = m_1 a, \qquad (t_2 - t_1)R = I_p\,\alpha = \tfrac{1}{2}m_p R^2\cdot\frac{a}{R}$ L’ultima diventa $t_2 - t_1 = \tfrac{1}{2}m_p a$. Sommando le tre: $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + \tfrac{1}{2}m_p} = \frac{(6-4)\cdot 9{,}81}{4 + 6 + 1} = \frac{19{,}62}{11} \approx \ev{1{,}78\;\mathrm{m/s^2}}$ Tensioni: $t_1 = m_1(g + a) = 4(9{,}81 + 1{,}78) \approx \ev{46{,}4\;\mathrm{N}}$ $t_2 = m_2(g - a) = 6(9{,}81 - 1{,}78) \approx \ev{48{,}2\;\mathrm{N}}$ Le due tensioni sono diverse ($t_2 > t_1$): è la loro differenza a far ruotare la puleggia massiva. Con una puleggia ideale sarebbero uguali.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Macchina di Atwood · Puleggia