Pulegge con massa

Nei problemi elementari la puleggia è ideale: priva di massa, si limita a deviare la fune. Ma una puleggia reale ha massa, e allora non trasmette più passivamente la tensione: per essere messa in rotazione ha bisogno di un momento netto, e quel momento nasce dalla differenza di tensione ai due lati della fune.

Principio — Puleggia massiva

Per una puleggia di momento d’inerzia $I_p$ e raggio $R$: $\ev{(t_1 - t_2)\,R = I_p\,\alpha}$ dove $t_1$ e $t_2$ sono le tensioni ai due lati e $\alpha = a/R$ (vincolo di rotolamento della fune sulla gola).

Il termine $(t_1 - t_2)R$ è proprio il momento risultante delle due tensioni rispetto all’asse della puleggia: agiscono con lo stesso braccio $R$ ma in versi opposti, quindi il loro effetto rotazionale è la differenza.

Perché con la puleggia ideale le tensioni sono uguali

Con una puleggia senza massa $I_p = 0$, e quindi $(t_1 - t_2)R = 0 \Rightarrow t_1 = t_2$: la tensione è la stessa su entrambi i lati. Solo quando la puleggia ha massa le due tensioni si differenziano, e la differenza è ciò che la fa ruotare. Di conseguenza una puleggia massiva “rallenta” il sistema: l’accelerazione $a$ è minore che con una puleggia ideale, perché parte dell’azione delle masse serve a mettere in rotazione la puleggia stessa.

Macchina di Atwood con puleggia massiva: le tensioni ai due lati della fune sono diverse. La differenza $t_1 - t_2$ genera il momento che fa ruotare la puleggia.

Per risolvere un sistema di questo tipo si scrivono tre equazioni: la seconda legge di Newton per ciascuna massa appesa e l’equazione rotazionale della puleggia, legate dal vincolo $a = \alpha R$. Lo svolgimento numerico completo è nell’esercizio dedicato.

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento di una forza · Momento d’inerzia Oggetti: Puleggia · Macchina di Atwood

Esercizi collegati: Problema — Vero o falso su momento angolare e inerzia · Problema — Atwood con puleggia massiva · Problema — Carrucola a due masse