Problema — Ranking di ω a parità di momento angolare

Testo

Quattro oggetti hanno tutti momento angolare $L = 10\;\mathrm{kg\,m^2/s}$: (A) sfera piena $M = 5\;\mathrm{kg}$, $R = 0{,}1\;\mathrm{m}$; (B) anello $M = 2\;\mathrm{kg}$, $R = 0{,}2\;\mathrm{m}$; (C) cilindro pieno $M = 1\;\mathrm{kg}$, $R = 0{,}5\;\mathrm{m}$; (D) disco sottile $M = 0{,}5\;\mathrm{kg}$, $R = 1\;\mathrm{m}$. Ordina i valori di $\omega = L/I$ dal più piccolo al più grande.

Soluzione

Poiché $\omega = L/I$ con $L$ uguale per tutti, l’ordine di $\omega$ è inverso all’ordine di $I$: momento d’inerzia grande → $\omega$ piccola.

• A: $I = \tfrac{2}{5}\cdot 5\cdot 0{,}1^2 = 0{,}02$ → $\omega = 500\;\mathrm{rad/s}$;
• B: $I = 2\cdot 0{,}2^2 = 0{,}08$ → $\omega = 125\;\mathrm{rad/s}$;
• C: $I = \tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 0{,}5^2 = 0{,}125$ → $\omega = 80\;\mathrm{rad/s}$;
• D: $I = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot 1^2 = 0{,}25$ → $\omega = 40\;\mathrm{rad/s}$.

$\ev{\text{D} < \text{C} < \text{B} < \text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Dinamica rotazionale Concetti: Momento angolare · Momento d’inerzia Competenze: Ragionamento di ranking