Satelliti e orbite circolari

Il caso più semplice di orbita è quello circolare: il satellite mantiene distanza costante $r$ dal centro. Qui la gravità fa una cosa sola, curvare la traiettoria, e la fisica si riduce a una sola equazione. La forza gravitazionale fornisce esattamente l’accelerazione centripeta richiesta dal moto circolare:

$\frac{GMm}{r^2} = m\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Velocità orbitale

$\ev{v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}}$ Confrontata con la velocità di fuga alla stessa distanza: $v_\text{orb} = v_\text{fuga}/\sqrt{2}$. Fuggire richiede $\sqrt{2}$ volte la velocità con cui si orbita.

Un fatto controintuitivo emerge dalla formula: più l’orbita è alta (grande $r$), più il satellite va lento. I satelliti bassi sfrecciano, quelli lontani procedono con calma. È il motivo per cui la Stazione Spaziale, in orbita bassa, viaggia a $7{,}7\;\text{km/s}$, mentre un satellite geostazionario, molto più lontano, va a soli $3\;\text{km/s}$.

Satellite geostazionario

Un satellite geostazionario ha periodo $T = 24\;\text{h} = 86\,400\;\text{s}$: deve restare fermo rispetto a un punto del cielo. Dalla terza legge di Keplero: $r^3 = \frac{GM_T T^2}{4\pi^2} \;\Rightarrow\; r \approx 4{,}2\cdot 10^7\;\text{m}$ cioè circa $35\,800\;\text{km}$ sopra la superficie (raggio terrestre $6\,400\;\text{km}$). La velocità orbitale corrispondente è: $v_\text{orb} = \sqrt{\frac{GM_T}{r}} \approx 3{,}1\;\text{km/s}$

L’orbita geostazionaria è unica: esiste un solo raggio per cui il periodo vale esattamente 24 ore. È per questo che le antenne paraboliche possono puntare fisse verso un punto del cielo: il satellite lì sembra immobile.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Orbite · Velocità di fuga · Leggi di Keplero Oggetti: Satellite

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