Altitudine dell'orbita geostazionaria

Testo

Un satellite per telecomunicazioni viene messo in orbita geostazionaria, cioè con periodo $T = 24\ \text{h}$ sopra l’equatore. Determina l’altitudine $h$ (distanza dalla superficie terrestre) dell’orbita, assumendo orbita circolare. Commenta perché è utile che il satellite appaia fermo nel cielo.

Dati (standard): $M_T = 6{,}0\cdot 10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6{,}4\cdot 10^6\ \text{m}$, $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$.

Soluzione

Impostazione. La forza gravitazionale fornisce l’accelerazione centripeta del moto circolare di raggio $r$ (misurato dal centro della Terra): $\frac{GM_T m}{r^2} = m\,\omega^2 r = m\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r$

La massa $m$ del satellite si semplifica; ricavo $r$: $r^3 = \frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2} \;\Rightarrow\; r = \left(\frac{GM_T\,T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$

Periodo in secondi. $T = 24\ \text{h} = 24\cdot 3600\ \text{s} = 8{,}64\cdot 10^4\ \text{s}$

Sostituzione numerica. $r = \left(\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}0\cdot 10^{24}\cdot(8{,}64\cdot 10^4)^2}{4\pi^2}\right)^{1/3} = \left(7{,}57\cdot 10^{22}\right)^{1/3} \approx 4{,}23\cdot 10^7\ \text{m}$

Altitudine (sottraggo il raggio terrestre): $h = r - R_T = 4{,}23\cdot 10^7 - 6{,}4\cdot 10^6$

$\ev{h \approx 3{,}6\cdot 10^7\ \text{m} \approx 36\,000\ \text{km}}$

Perché è utile. Con $T=24\ \text{h}$ il satellite ruota in sincrono con la Terra: visto da terra appare fermo in cielo. Così le antenne paraboliche possono puntare fisse una direzione, senza inseguire il satellite — ideale per telecomunicazioni e televisione.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Orbite · Forza centripeta · Moto circolare uniforme · Leggi di Keplero Competenze: Impostazione simbolica Oggetti: Satellite