Stima della massa della Galassia

Testo

La nostra Galassia compie una rotazione completa sul piano galattico in circa $250$ milioni di anni. Il Sole dista circa $2{,}6\cdot 10^{20}\ \text{m}$ dal centro galattico. Supponendo un’orbita circolare e che gran parte della massa galattica sia concentrata entro l’orbita solare, stima l’ordine di grandezza della massa della Galassia e commenta il confronto con la massa stellare visibile ($\sim 10^{11}\,M_\odot$).

Soluzione

Impostazione. Trattiamo il Sole come un satellite in orbita circolare attorno alla massa $M$ racchiusa entro il suo raggio orbitale. La gravità fornisce la forza centripeta; equivalentemente, si usa la terza legge di Keplero: $\frac{GMm}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2} \quad\Longrightarrow\quad M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Conversione del periodo. Con $1\ \text{anno} \approx 3{,}15\cdot 10^7\ \text{s}$: $T = 250\cdot 10^6\ \text{anni} \approx 2{,}5\cdot 10^8 \cdot 3{,}15\cdot 10^7\ \text{s} \approx 7{,}9\cdot 10^{15}\ \text{s}$

Sostituzione numerica. Con $r = 2{,}6\cdot 10^{20}\ \text{m}$ e $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2$: $M = \frac{4\pi^2\,(2{,}6\cdot 10^{20})^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot (7{,}9\cdot 10^{15})^2} = \frac{39{,}5\cdot 1{,}76\cdot 10^{61}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}2\cdot 10^{31}} \approx \frac{6{,}9\cdot 10^{62}}{4{,}2\cdot 10^{21}}$

$\ev{M \sim 1{,}7\cdot 10^{41}\ \text{kg} \sim 10^{41}\ \text{kg}}$

Commento. La massa stellare visibile vale $\sim 10^{11}\,M_\odot \approx 10^{11}\cdot 2\cdot 10^{30}\ \text{kg} = 2\cdot 10^{41}\ \text{kg}$, dello stesso ordine di grandezza della massa dinamica qui stimata entro l’orbita solare. Estendendo però lo stesso ragionamento alle stelle più esterne, le curve di rotazione restano piatte invece di calare: serve molta più massa non luminosa (materia oscura) nell’alone galattico. La stima di Keplero è quindi solo un limite inferiore alla massa totale della Galassia.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Leggi di Keplero · Moto circolare uniforme · Legge di gravitazione universale · Forza centripeta Competenze: Stime di Fermi · Impostazione simbolica