La Luna cava

Testo

La Luna cava. Newton dimostrò che una sfera di densità uniforme attira un corpo esterno come se tutta la massa fosse concentrata nel centro; estese poi il risultato ai gusci sferici di densità uniforme. Sfruttando questi due risultati (e senza ricorrere a integrali), dimostra che una sfera cava di raggio esterno $R$, raggio interno $r$ e massa totale $M$ distribuita uniformemente nel guscio attira un corpo posto sulla sua superficie esterna esattamente con la stessa forza di una sfera piena di pari massa $M$ e raggio $R$. Sorprendentemente il risultato non dipende dal raggio interno $r$: anche una sottilissima “calotta” di massa $M$ ha lo stesso effetto.

Soluzione

Idea: guscio come differenza di due sfere piene. Come suggerito, pensiamo al guscio come la differenza tra una sfera piena grande (raggio $R$) e una sfera piena piccola (raggio $r$), entrambe con la stessa densità uniforme $\rho$ del materiale del guscio. Sottraendo la piccola dalla grande resta esattamente il guscio cavo (Povey 2015, §10.1).

Le masse delle due sfere fittizie. Con densità comune $\rho$: $M_R = \rho\,\tfrac{4}{3}\pi R^3, \qquad M_r = \rho\,\tfrac{4}{3}\pi r^3, \qquad M = M_R - M_r$

Forza sul corpo esterno alla superficie ($d = R$). Un corpo di massa $m$ sulla superficie esterna dista $R$ dal centro. È esterno a entrambe le sfere piene, quindi per il teorema di Newton ciascuna agisce come massa puntiforme concentrata nel centro. Le due forze sono opposte (una attira, l’altra viene sottratta): $F = \frac{G M_R\, m}{R^2} - \frac{G M_r\, m}{R^2} = \frac{G(M_R - M_r)\,m}{R^2} = \frac{G M m}{R^2}$

Conclusione. La forza dipende solo dalla massa totale $M$ e dal raggio esterno $R$: identica a quella di una sfera piena di pari massa. L’accelerazione superficiale è $\ev{g = \frac{G M}{R^2}, \quad\text{indipendente dal raggio interno } r}$

Caso limite (fantafisica). Nel limite $r \to R$ il guscio diventa una calotta sottilissima: pur di conservare la massa totale $M$, la densità cresce, ma la forza esterna resta $GMm/R^2$. Una “Luna cava” ci apparirebbe indistinguibile da una piena, finché restiamo fuori di essa.

Collegamenti

Argomenti: Gravitazione Concetti: Legge di gravitazione universale · Forza peso Competenze: Impostazione simbolica · Analisi di casi limite e fantafisica