Derivazione della legge dei gas perfetti

La teoria cinetica permette di calcolare esplicitamente la pressione esercitata da $N$ particelle in un volume $V$, in funzione della loro energia cinetica totale $E_\text{cin}$. Il risultato è sorprendentemente semplice:

$P = \frac{2}{3}\,\frac{E_{\text{cin}}}{V}$

A questo punto basta usare il legame fra energia cinetica e temperatura. Per un gas ideale l’energia cinetica traslazionale totale è $E_{\text{cin}} = \frac{3}{2}Nk_BT$; sostituendo:

$PV = \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}Nk_BT = Nk_BT = nRT$

dove nell’ultimo passaggio si è usato $N = n\,N_A$ e $R = N_A k_B$ per passare dal numero di molecole $N$ al numero di moli $n$.

Legge — Equazione di stato del gas ideale

$\ev{PV = nRT}$

Il significato è profondo: un’equazione fra grandezze macroscopiche e misurabili (pressione, volume, temperatura) emerge interamente da un modello microscopico di palline che rimbalzano. La derivazione microscopica lega il mondo invisibile degli atomi a strumenti da laboratorio come manometro e termometro.

Contesto storico

Questa equazione fu scoperta sperimentalmente da Boyle (1662), Charles (1787) e Gay-Lussac (1802), assemblando le leggi empiriche sui gas, e solo in seguito derivata dalla teoria cinetica da Clausius nel 1857. È un esempio classico in cui la spiegazione teorica arriva dopo, e unifica, una serie di regolarità sperimentali già note.

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Legge dei gas perfetti · Pressione Competenze: Interpretazione micro-macro

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