Esercizio svolto — Equipartizione e gradi di libertà

Testo

Un gas biatomico (per esempio O$_2$) ha calore specifico molare a volume costante pari a $(5/2)R$, contro $(3/2)R$ del monoatomico (per esempio He). Da dove arriva il fattore $5/2$?

Soluzione

Il teorema di equipartizione assegna ad ogni grado di libertà quadratico nell’energia un contributo medio $\tfrac{1}{2}k_B T$. Per una molecola monoatomica i gradi di libertà sono i tre traslazionali (velocità lungo $x$, $y$, $z$): tre quadrati nell’energia cinetica $\tfrac{1}{2}m v_x^2 + \tfrac{1}{2}m v_y^2 + \tfrac{1}{2}m v_z^2$, quindi $\bar E = \tfrac{3}{2}k_B T \qquad c_V = \tfrac{3}{2}R$ Per una molecola biatomica vanno aggiunte le rotazioni. Una molecola biatomica ha la forma di un piccolo manubrio: ruotando intorno all’asse della molecola il momento di inerzia è praticamente nullo (la massa è concentrata lungo l’asse), quindi quel grado di libertà non si attiva. Restano due assi di rotazione perpendicolari all’asse molecolare, ognuno con energia rotazionale $\tfrac{1}{2}I\omega^2$: due gradi quadratici in più. Totale $3 + 2 = 5$ gradi di libertà, da cui $\bar E = \tfrac{5}{2}k_B T \qquad c_V = \tfrac{5}{2}R$

Le vibrazioni dei due atomi lungo l’asse molecolare sono altri due gradi quadratici (cinetica + potenziale elastica), ma a temperatura ambiente la meccanica quantistica li congela: si attivano solo oltre il migliaio di kelvin. È uno dei primi indizi storici, già visibile a Maxwell, che la fisica classica non basta a spiegare i calori specifici. $\ev{c_V = \tfrac{5}{2}R\ \text{da } 3\ \text{traslazioni} + 2\ \text{rotazioni},\ \text{ognuna } \tfrac{1}{2}k_B T}$

Collegamenti

Argomenti: Teoria cinetica dei gas Concetti: Energia interna · Calore specifico e capacità termica Competenze: Interpretazione micro-macro