Ferro raffreddato: lavoro massimo

Testo

Un blocco di ferro ($m=1$ kg, calore specifico $c_s = 450\ \text{J/(kg}\cdot\text{K)}$) a temperatura $T_A = 500$ K viene raffreddato fino alla temperatura ambiente $T_0 = 300$ K. Calcola il lavoro massimo estraibile inserendo tra il ferro e l’ambiente una macchina ciclica reversibile. Confronta con l’energia termica totale ceduta $Q_\text{tot}$ e commenta.

Soluzione

Il lavoro estratto è massimo quando la macchina lavora in modo reversibile, cioè quando l’entropia totale non varia: $\Delta S_\text{tot}=0$.

Il ferro si raffredda da $500$ K a $300$ K; la sua variazione di entropia (temperatura variabile) è $\Delta S_\text{ferro} = m c_s\ln\frac{T_0}{T_A} = 1\cdot 450\cdot\ln\frac{300}{500} = 450\cdot\ln 0{,}6 = -229{,}9\;\text{J/K}$

Condizione di reversibilità: l’entropia dell’ambiente compensa esattamente quella persa dal ferro, $\Delta S_\text{amb} = +229{,}9\ \text{J/K}$. L’ambiente è un termostato a $T_0$, quindi riceve un calore $Q_\text{amb} = T_0\,\Delta S_\text{amb} = 300\cdot 229{,}9 = 68\,970\;\text{J}$

Energia termica totale ceduta dal ferro: $Q_\text{tot} = m c_s (T_A - T_0) = 1\cdot 450\cdot 200 = 90\,000\;\text{J}$

Il lavoro massimo è la parte di $Q_\text{tot}$ non scaricata all’ambiente: $L_\text{max} = Q_\text{tot} - Q_\text{amb} = 90\,000 - 68\,970 \approx 2{,}1\cdot 10^4\;\text{J}$ $\ev{L_\text{max} \approx 2{,}1\cdot 10^4\;\text{J}}$ Commento: solo circa il $23\%$ dell’energia termica ceduta dal ferro può essere convertita in lavoro; il resto ($\approx 69$ kJ) finisce inevitabilmente nell’ambiente. La frazione utile è limitata dal secondo principio, perché il ferro cede calore a temperature via via decrescenti verso $T_0$.

Collegamenti

Argomenti: Entropia e secondo principio Concetti: Entropia · Secondo principio della termodinamica · Calore specifico e capacità termica · Rendimento Competenze: Bilancio entropico Oggetti: Macchina termica