Adiabatica reversibile

L’adiabatica reversibile è la trasformazione con il vincolo $Q = 0$: il gas non ha alcun contatto termico con l’esterno. Non essendoci termostati, non c’è nemmeno entropia scambiata con l’ambiente, $\Delta S_\text{term} = 0$, e la condizione di reversibilità $\Delta S_\text{tot} = 0$ si scarica interamente sul gas:

$\Delta S_\text{gas} = nC_v\,\ln\frac{T_B}{T_A} + nR\,\ln\frac{V_B}{V_A} = 0$

Questa non è più solo un valore da calcolare: è un’equazione che lega temperatura e volume durante tutto il processo. Portando i due termini a bilanciarsi ed esponenziando, la combinazione $T\,V^{\,R/C_v}$ deve restare costante; introducendo l’esponente adiabatico $\gamma = C_p/C_v$ la relazione assume la sua forma celebre, che in variabili $P$-$V$ diventa $P\,V^\gamma = \text{cost}$.

Formula chiave

$\ev{T\,V^{\gamma-1} = \text{cost} \qquad P\,V^\gamma = \text{cost}}$ dove $\gamma = \dfrac{C_p}{C_v} = \dfrac{f+2}{f}$.

Il coefficiente $\gamma$ dipende soltanto dai gradi di libertà $f$ della molecola: per un gas monoatomico $f=3$ e $\gamma = 5/3$, per un biatomico $f=5$ e $\gamma = 7/5$.

Sul fronte energetico, con $Q = 0$ il primo principio dice che tutto il lavoro compiuto dal gas viene prelevato dalla sua energia interna. Un’espansione adiabatica raffredda quindi il gas, una compressione lo scalda:

$\Delta E_\text{int} = -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A)$

Principio — Sintesi adiabatica reversibile

$\begin{aligned} Q &= 0 \\ \Delta S_\text{gas} &= 0 \\ \Delta E_\text{int} &= -L_\text{gas} = nC_v(T_B - T_A) \end{aligned}$

Nota storica

La formula $P\,V^\gamma = \text{cost}$ fu trovata per la prima volta da Siméon Poisson nel 1823, prima ancora che si definisse chiaramente il concetto di entropia. Solo decenni più tardi si capì che essa è una conseguenza diretta della condizione $\Delta S_\text{gas} = 0$.

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Entropia · Primo principio della termodinamica · Energia interna · Secondo principio della termodinamica Competenze: Bilancio entropico · Risoluzione di un ciclo termodinamico Oggetti: Gas ideale

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