Problema — Ciclo rettangolare nel piano p-V

Testo

Per il ciclo termodinamico in figura (gas ideale, $A\to B\to C\to D\to A$), individua le fasi in cui il gas assorbe e cede calore. Stima il lavoro per ciclo come area racchiusa.

Soluzione

Le quattro fasi. Il ciclo è un rettangolo con lati alternati isòbari (pressione costante, tratti orizzontali) e isòcori (volume costante, tratti verticali). Per un gas ideale $pV = nRT$, quindi la temperatura è massima nel vertice in alto a destra e minima in quello in basso a sinistra.

• $A \to B$ (isòbara, $p$ basso, $V$ cresce): espansione, $T$ aumenta $\Rightarrow$ calore assorbito ($Q>0$).
• $B \to C$ (isòcora, $V$ grande, $p$ cresce): $T$ aumenta $\Rightarrow$ calore assorbito ($Q>0$).
• $C \to D$ (isòbara, $p$ alto, $V$ cala): compressione, $T$ diminuisce $\Rightarrow$ calore ceduto ($Q<0$).
• $D \to A$ (isòcora, $V$ piccolo, $p$ cala): $T$ diminuisce $\Rightarrow$ calore ceduto ($Q<0$).

Lavoro come area. Il lavoro netto del gas in un ciclo è l’area racchiusa nel piano $p$-$V$, con segno dato dal verso di percorrenza. Il rettangolo ha base $\Delta V$ e altezza $\Delta p$:

$\abs{W_{\text{netto}}} = \Delta p \cdot \Delta V$

Segno. Il percorso $A\to B\to C\to D\to A$ è antiorario (destra in basso, su a destra, sinistra in alto, giù a sinistra). Un ciclo antiorario nel piano $p$-$V$ dà lavoro netto negativo (lavoro fatto SUL gas): il gas cede più lavoro sulla compressione ad alta pressione di quanto ne riceva in espansione a bassa pressione. È un ciclo inverso (frigorifero/pompa di calore), non un motore.

$W_{\text{netto}} = \oint p \, \dd V < 0, \qquad \abs{W_{\text{netto}}} = \text{area del rettangolo}$

$\ev{\text{Assorbe in } A\!\to\!B,\, B\!\to\!C;\ \text{cede in } C\!\to\!D,\, D\!\to\!A;\ \abs{W} = \Delta p\,\Delta V}$

Collegamenti

Argomenti: Termodinamica Concetti: Trasformazioni termodinamiche · Primo principio della termodinamica · Legge dei gas perfetti Competenze: Risoluzione di un ciclo termodinamico · Lettura dei grafici Metodi: Diagramma P-V e ln P - ln V Oggetti: Gas ideale