Il ciclo di Carnot e il rendimento massimo

Il ciclo di Carnot è composto da due isoterme e due adiabatiche reversibili. È il ciclo più efficiente possibile fra due temperature date, e questa non è una coincidenza: lo si dimostra imponendo che tutte le trasformazioni siano reversibili, cioè che la variazione di entropia totale sia nulla in ciascuna fase ($\Delta S_\text{tot} = 0$).

Le due isoterme. Lungo un’isoterma di un gas ideale l’energia interna non cambia, quindi tutto il calore scambiato eguaglia il lavoro:

• $A \to B$ (espansione isoterma a $T_H$): $Q_H = nRT_H\ln(V_B/V_A)$
• $C \to D$ (compressione isoterma a $T_C$): $Q_C = nRT_C\ln(V_C/V_D)$

Le due adiabatiche. Lungo un’adiabatica reversibile vale $TV^{\gamma-1} = \text{cost}$, e l’entropia del gas resta costante:

$\begin{aligned} B \to C:\quad & T_H V_B^{\gamma-1} = T_C V_C^{\gamma-1} \\ D \to A:\quad & T_C V_D^{\gamma-1} = T_H V_A^{\gamma-1} \end{aligned}$

Il passaggio chiave. Dividendo membro a membro le due relazioni adiabatiche, i fattori di temperatura si semplificano e si ottiene $V_B/V_A = V_C/V_D$. I due logaritmi nelle espressioni di $Q_H$ e $Q_C$ sono quindi uguali, e restano solo le temperature:

$\frac{|Q_C|}{Q_H} = \frac{T_C}{T_H}$

Sostituendo nel rendimento generale $\eta = 1 - |Q_C|/Q_H$ si arriva alla legge di Carnot.

Legge — Rendimento di Carnot

$\ev{\eta_\text{Carnot} = 1 - \frac{T_C}{T_H}}$ Nessuna macchina reale, per quanto raffinata, può superare questo valore fra le stesse due temperature.

Il fatto notevole è che nel risultato finale non compare il fluido di lavoro: il rendimento massimo dipende solo dalle due temperature, esattamente come Carnot aveva intuito nel 1824.

Attenzione — kelvin e terzo principio

Le temperature nella formula devono essere in kelvin, non in gradi Celsius. Un rendimento del $100\%$ richiederebbe $T_C = 0\;\text{K}$, uno zero assoluto fisicamente irraggiungibile per il terzo principio della termodinamica. Il muro di Carnot resta quindi sempre sotto il $100\%$.

Collegamenti

Argomenti: Macchine termiche Concetti: Ciclo di Carnot · Secondo principio della termodinamica Oggetti: Gas ideale

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