Problema — I due pistoleri

Testo

I due pistoleri: proiettili carichi che si respingono. Due pistoleri si fronteggiano a $4\ \text{m}$ di distanza. Sparano contemporaneamente due proiettili carichi: proiettile 1 ($m_1 = 0{,}1\ \text{kg}$, $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$, $\vv{v}_1 = (300,\ 0)\ \text{m/s}$); proiettile 2 ($m_2 = 0{,}2\ \text{kg}$, $q_2 = 2\cdot 10^{-5}\ \text{C}$, $\vv{v}_2 = (-100,\ 0)\ \text{m/s}$). Trascurando la gravità, trovare la distanza minima di avvicinamento. Suggerimento: passa al riferimento del centro di massa, scomponi $E_{\text{cin,tot}}$ in $E_{\text{cin,CM}}$ ed $E_{\text{cin,int}}$ (teorema di König), poi imponi la conservazione dell’energia interna con $E_{\text{pot,el}} = k\,q_1 q_2/r$.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$. I proiettili sono carichi dello stesso segno: si respingono. Passo al centro di massa (CM), dove la sua velocità è costante (nessuna forza esterna).

Velocità del CM:

$v_{\text{CM}} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 300 + 0{,}2\cdot(-100)}{0{,}3} = \frac{30 - 20}{0{,}3} = 33{,}3\ \text{m/s}$

Energia cinetica interna (teorema di König). Massa ridotta e velocità relativa:

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} = \frac{0{,}1\cdot 0{,}2}{0{,}3} = 0{,}0667\ \text{kg},\qquad v_{\text{rel}} = 300 - (-100) = 400\ \text{m/s}$

$E_{\text{cin,int}} = \tfrac12\,\mu\, v_{\text{rel}}^2 = \tfrac12\cdot 0{,}0667\cdot 400^2 \approx 5333\ \text{J}$

Conservazione dell’energia interna. Alla distanza minima la velocità relativa si annulla, quindi tutta $E_{\text{cin,int}}$ (più l’energia potenziale iniziale) si trasforma in energia potenziale elettrostatica. Con $q_1 q_2 = 10^{-4}\cdot 2\cdot 10^{-5} = 2\cdot 10^{-9}\ \text{C}^2$ e $k\,q_1 q_2 = 17{,}98\ \text{J·m}$:

$E_{\text{cin,int}} + \frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{k\,q_1 q_2}{d_{\min}},\qquad d_0 = 4\ \text{m}$

$\frac{k\,q_1 q_2}{d_0} = \frac{17{,}98}{4} = 4{,}495\ \text{J}$

Risolvendo per $d_{\min}$:

$d_{\min} = \frac{k\,q_1 q_2}{E_{\text{cin,int}} + k q_1 q_2/d_0} = \frac{17{,}98}{5333 + 4{,}495} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m}$

$\ev{d_{\min} \approx 3{,}4\cdot 10^{-3}\ \text{m} \approx 3{,}4\ \text{mm}\quad (v_{\text{CM}} \approx 33{,}3\ \text{m/s})}$

L’energia interna disponibile ($\sim 5300\ \text{J}$) è enorme rispetto alla barriera coulombiana, quindi i proiettili si avvicinano fino a pochi millimetri prima di fermarsi e respingersi. (Il valore $1{,}83\ \text{m}$ della chiave del libro è errato.)

Il metodo chiave è la separazione moto del CM / moto interno: solo la parte interna dell’energia cinetica ($E_{\text{cin,int}}$) è disponibile per lavorare contro la repulsione coulombiana, mentre $E_{\text{cin,CM}}$ resta invariata e non contribuisce all’avvicinamento.

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione della quantità di moto Metodi: Teorema di König Oggetti: Proiettile