Problema — Due cariche lanciate verso l'alto

Testo

Due cariche lanciate verso l’alto: CM e interazione. Due particelle cariche vengono lanciate verticalmente verso l’alto nel campo gravitazionale: $m_1 = 1\ \text{kg}$, $q_1 = 10^{-4}\ \text{C}$ in $\vv{s}_1 = (4,\ 10)$ con $\vv{v}_1 = (0,\ 1)\ \text{m/s}$; $m_2 = 2\ \text{kg}$, $q_2 = -2\cdot 10^{-4}\ \text{C}$ in $\vv{s}_2 = (0,\ 6)$ con $\vv{v}_2 = (0,\ 2)\ \text{m/s}$. Le cariche si attraggono. (a) Posizione e velocità iniziale del CM. (b) Massima altezza del CM (la forza coulombiana interna non lo sposta). (c) Se nel punto di massima altezza del CM le due cariche distano $1\ \text{m}$, calcola le loro velocità usando conservazione della quantità di moto e dell’energia.

Soluzione

Uso $k = 8{,}99\cdot 10^9\ \text{N·m}^2/\text{C}^2$, $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$, massa totale $M = 3\ \text{kg}$.

(a) Centro di massa. Posizione:

$\vv{r}_{\text{CM}} = \frac{m_1 \vv{s}_1 + m_2 \vv{s}_2}{M} = \left(\frac{1\cdot 4 + 2\cdot 0}{3},\ \frac{1\cdot 10 + 2\cdot 6}{3}\right) = (1{,}33;\ 7{,}33)\ \text{m}$

Velocità:

$\vv{v}_{\text{CM}} = \frac{m_1 \vv{v}_1 + m_2 \vv{v}_2}{M} = \left(0,\ \frac{1\cdot 1 + 2\cdot 2}{3}\right) = \left(0,\ \tfrac{5}{3}\right) = (0;\ 1{,}67)\ \text{m/s}$

(b) Massima altezza del CM. Le forze interne (Coulomb) non spostano il CM: esso si muove come un proiettile soggetto alla sola gravità. Con velocità verticale iniziale $v_{\text{CM},y} = 1{,}67\ \text{m/s}$:

$h_{\text{CM,max}} = y_{\text{CM},0} + \frac{v_{\text{CM},y}^2}{2g} = 7{,}33 + \frac{1{,}67^2}{2\cdot 9{,}8} = 7{,}33 + 0{,}142 \approx 7{,}47\ \text{m}$

(c) Velocità alla massima altezza. Separazione iniziale:

$d_A = |\vv{s}_1 - \vv{s}_2| = |(4,\ 4)| = \sqrt{32} \approx 5{,}66\ \text{m},\qquad d_B = 1\ \text{m}$

Nel riferimento del CM la quantità di moto interna è nulla, quindi $m_1 v_1' + m_2 v_2' = 0 \Rightarrow v_2' = -\tfrac12 v_1'$. La variazione di energia potenziale diventa energia cinetica interna. Con $q_1 q_2 = -2\cdot 10^{-8}\ \text{C}^2$ e $k\,q_1 q_2 = -179{,}8\ \text{J·m}$:

$E_{\text{pot,el}}(d_A) = \frac{-179{,}8}{5{,}66} = -31{,}77\ \text{J},\qquad E_{\text{pot,el}}(d_B) = \frac{-179{,}8}{1} = -179{,}8\ \text{J}$

$\Delta E_{\text{pot}} = -179{,}8 - (-31{,}77) = -148{,}0\ \text{J} \;\Longrightarrow\; \Delta E_{\text{cin,int}} = +148{,}0\ \text{J}$

$\Delta E_{\text{cin,int}} = \tfrac12 m_1 v_1'^2 + \tfrac12 m_2 v_2'^2 = \tfrac12 v_1'^2 + \tfrac12\cdot 2\left(\tfrac{v_1'}{2}\right)^2 = 0{,}75\,v_1'^2$

$v_1'^2 = \frac{148}{0{,}75} = 197 \;\Longrightarrow\; v_1' \approx 14{,}0\ \text{m/s},\qquad v_2' = -\tfrac12 v_1' \approx -7{,}0\ \text{m/s}$

Queste sono le velocità (interne) rispetto al CM al momento della massima altezza.

$\ev{h_{\text{CM,max}} \approx 7{,}47\ \text{m};\quad v_1' \approx 14{,}0\ \text{m/s},\ v_2' \approx -7{,}0\ \text{m/s (rispetto al CM)}}$

Collegamenti

Argomenti: Elettrostatica Concetti: Energia potenziale elettrostatica · Conservazione della quantità di moto Competenze: Conservazione dell’energia Metodi: Teorema di König