Energia del campo nel condensatore

Testo

Energia del campo nel condensatore. Un condensatore piano ad aria ha armature quadrate di lato $\ell=5{,}0\;\text{cm}$ e distanza $d=1{,}0\;\text{mm}$. Viene caricato a $V=100\;\text{V}$.

(a) Calcola il modulo del campo $E$ fra le armature. (b) Calcola la densità di energia $u=\tfrac12\varepsilon_0 E^2$. (c) Ricava l’energia totale $U=u\cdot\ell^2\cdot d$ e confrontala con $\tfrac12 CV^2$: devono coincidere.

Soluzione

Dati in unità SI. $\ell = 5{,}0\;\text{cm} = 5{,}0\cdot 10^{-2}\;\text{m}$, $d = 1{,}0\;\text{mm} = 1{,}0\cdot 10^{-3}\;\text{m}$, $V = 100\;\text{V}$.

(a) Campo tra le armature. Il campo di un condensatore piano è uniforme e legato alla tensione da $E = V/d$: $E = \frac{V}{d} = \frac{100}{1{,}0\cdot 10^{-3}}$ $\ev{E = 1{,}0\cdot 10^{5}\;\text{V/m}}$

(b) Densità di energia. $u = \tfrac12\,\varepsilon_0\,E^2 = \tfrac12\,(8{,}85\cdot 10^{-12})\,(1{,}0\cdot 10^{5})^2 = \tfrac12\,(8{,}85\cdot 10^{-12})\,(1{,}0\cdot 10^{10})$ $\ev{u \approx 4{,}4\cdot 10^{-2}\;\text{J/m}^3}$

(c) Energia totale e verifica. Il volume tra le armature è $\ell^2 d = (5{,}0\cdot 10^{-2})^2\,(1{,}0\cdot 10^{-3}) = 2{,}5\cdot 10^{-6}\;\text{m}^3$: $U = u\cdot\ell^2\cdot d = (4{,}4\cdot 10^{-2})\,(2{,}5\cdot 10^{-6})$ $\ev{U \approx 1{,}1\cdot 10^{-7}\;\text{J}}$

Confronto con $\tfrac12 CV^2$. La capacità è $C = \varepsilon_0\dfrac{\ell^2}{d} = (8{,}85\cdot 10^{-12})\dfrac{2{,}5\cdot 10^{-3}}{1{,}0\cdot 10^{-3}} = 2{,}21\cdot 10^{-11}\;\text{F}$, quindi $\tfrac12 C V^2 = \tfrac12\,(2{,}21\cdot 10^{-11})\,(100)^2 = 1{,}1\cdot 10^{-7}\;\text{J}\;\checkmark$ I due metodi coincidono: l’energia immagazzinata nel condensatore è proprio l’energia distribuita nel campo elettrico tra le armature, con densità $u=\tfrac12\varepsilon_0 E^2$.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Densità di energia del campo · Capacità e condensatore · Energia potenziale elettrostatica Oggetti: Condensatore piano