Energia e dielettrico: batteria collegata o staccata

L’energia immagazzinata in un condensatore vale sempre

$U = \tfrac12 C V^2 = \frac{Q^2}{2C}$

Ma cosa succede all’energia quando inseriamo un dielettrico dipende in modo cruciale dal come stiamo facendo l’esperimento — cioè se la batteria è ancora collegata oppure no. Le due situazioni portano a conclusioni opposte, ed è un ottimo banco di prova per capire davvero le formule.

Note

Carica costante (batteria scollegata). Inserendo il dielettrico $C$ aumenta di un fattore $\varepsilon_r$; ma $Q$ è fissato (nessun filo per farla entrare o uscire), quindi $V = Q/C$ cala di $\varepsilon_r$. L’energia $U = Q^2/(2C)$ diminuisce di $\varepsilon_r$. Dove va l’energia mancante? È il lavoro fatto dal dielettrico, letteralmente “risucchiato” dentro al condensatore dalle forze elettrostatiche: esiste un’attrazione netta che cattura la lastra parzialmente inserita.

Note

Tensione costante (batteria collegata). Ora $V$ è fissato dalla batteria; $C$ cresce di $\varepsilon_r$ e quindi $Q = CV$ aumenta di $\varepsilon_r$ — la batteria fornisce carica aggiuntiva. L’energia $U = \tfrac12 C V^2$ aumenta di $\varepsilon_r$. La batteria compie in realtà il doppio del lavoro: metà finisce nel condensatore, metà in lavoro meccanico sul dielettrico e in dissipazione nei fili.

Principio — Sintesi

Stesso pezzo di dielettrico, due situazioni opposte: con $Q$ costante l’energia cala, con $V$ costante l’energia cresce. Il “trucco” della batteria che fornisce o assorbe carica fa tutta la differenza.

Esempio — Condensatore parzialmente riempito

Un condensatore piano ha armature di area $A = 100\;\text{cm}^2 = 10^{-2}\;\text{m}^2$ separate da $D = 1{,}0$ mm. Metà dello spessore è occupato da un dielettrico con $\varepsilon_r = 4$ (per esempio mica), l’altra metà è aria. Calcola la capacità totale.

La struttura equivale a due condensatori in serie, uno di spessore $D/2$ con $\varepsilon_r = 1$ e uno di spessore $D/2$ con $\varepsilon_r = 4$: $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{D/2} = 2C_0, \qquad C_2 = \frac{4\varepsilon_0 A}{D/2} = 8C_0$ con $C_0 = \varepsilon_0 A / D \approx 8{,}85\;\text{pF}$. In serie: $C_\text{tot} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = \frac{16 C_0}{10} = 1{,}6\,C_0 \approx 14{,}2\;\text{pF}$ Confronto: un solo dielettrico con $\varepsilon_r = 4$ che riempisse tutto lo spazio avrebbe dato $4 C_0 \approx 35{,}4$ pF. Il fatto che metà sia ancora aria penalizza pesantemente la capacità: nella serie è la regione a $\varepsilon_r$ basso a dominare il risultato.

Curiosità — Rigidità dielettrica e voltaggio massimo

Sotto un campo abbastanza intenso (la rigidità dielettrica) qualsiasi dielettrico “cede”: gli elettroni vengono strappati ai nuclei e il materiale diventa conduttore — un fulmine in scala da laboratorio. Per l’aria la rigidità è $\sim 3$ MV/m; per la mica $\sim 100$ MV/m. È il motivo per cui un condensatore reale ha sempre due specifiche: capacità e tensione massima. Superare la seconda significa distruggerlo.

Collegamenti

Argomenti: Campo elettrico e potenziale Concetti: Capacità e condensatore · Dielettrici e polarizzazione · Densità di energia del campo

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