Dipendenza della resistività dalla temperatura

La resistività non è una vera “costante del materiale”: dipende in modo apprezzabile dalla temperatura. Trascurare questa dipendenza è lecito solo in prima approssimazione; nella realtà la resistenza di un filo cambia sensibilmente quando esso si scalda.

Metalli: dipendenza lineare

Per i metalli, in un intervallo non troppo grande attorno a una temperatura di riferimento $T_0$, la dipendenza è approssimativamente lineare:

$\ev{\rho(T) = \rho_0\bigl[1 + \alpha\,(T - T_0)\bigr]}$

dove $\rho_0$ è la resistività a $T_0$ e $\alpha$ è il coefficiente termico di resistività (unità $1/\mathrm{K}$). Per il rame $\alpha \approx 3{,}9\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$: una variazione di 100 K cambia la resistività di circa il 40%, un effetto tutt’altro che trascurabile.

Giustificazione microscopica

A temperatura più alta gli ioni del reticolo cristallino oscillano di più attorno alle loro posizioni di equilibrio. Gli elettroni di conduzione urtano contro questi ioni più frequentemente, il loro cammino libero medio si accorcia e la resistività aumenta. Più caldo il metallo, più il reticolo “vibra” e ostacola il moto ordinato delle cariche.

Semiconduttori: dipendenza opposta

Per i semiconduttori (silicio, germanio) la dipendenza è opposta e molto più marcata: la resistività diminuisce all’aumentare della temperatura, di solito in modo esponenziale,

$\rho \propto \exp\!\left(\frac{E_g}{2k_B T}\right)$

dove $E_g$ è l’energia di gap del materiale. Riscaldando un semiconduttore si “liberano” nuovi portatori di carica nel reticolo — elettroni che acquistano energia sufficiente a partecipare alla conduzione — e la resistività crolla. È l’effetto opposto a quello dei metalli, e sta alla base del funzionamento dei termistori e di molti dispositivi elettronici.

Coefficiente termico di alcuni materiali

Materiale	$\alpha$ ($10^{-3}/$K)
Argento	+3,8
Rame	+3,9
Alluminio	+3,9
Ferro	+5,0
Costantana (lega)	~0
Carbonio (grafite)	−0,5

Sintesi

Metallo: $\rho$ cresce con $T$ ($\alpha > 0$). Semiconduttore: $\rho$ scende con $T$. Costantana: $\alpha \approx 0$, perciò si usa nelle resistenze campione di precisione, la cui resistenza resta stabile al variare della temperatura.

Esempio — Lampadina a incandescenza

Una lampadina a filamento di tungsteno, a temperatura ambiente ($T \approx 300$ K), ha resistenza misurata $R_\text{off} = 10\ \Omega$. Accesa, il filamento raggiunge circa 2700 K e la sua resistenza (calcolata da $V/i$ a regime) è $R_\text{on} \approx 150\ \Omega$. Il tungsteno ha $\alpha \approx 4{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{K}^{-1}$, quindi $\frac{R_\text{on}}{R_\text{off}} \approx 1 + \alpha\,(2700-300) \approx 1 + 4{,}5\cdot10^{-3}\cdot 2400 \approx 11{,}8$ La stima dà $R_\text{on}/R_\text{off} \approx 12$, contro un rapporto sperimentale di $\sim 15$: l’approssimazione lineare è tirata fino al limite (2400 K di salto), ma cattura l’effetto qualitativo. È il motivo per cui all’accensione una lampadina “aspira” una corrente di picco molto più alta di quella di regime, $i_\text{picco} \approx V/R_\text{off} \approx 12$ volte $i_\text{regime}$ — ed è anche il motivo per cui le lampadine si bruciano tipicamente proprio all’accensione.

Contesto storico — Superconduttori: $\rho$ che "cade" a zero

Per alcuni materiali (mercurio, niobio, leghe di YBaCuO) sotto una temperatura critica caratteristica $T_c$ la resistività non semplicemente diminuisce: si annulla esattamente. Una corrente messa in moto in un anello superconduttore continua a girare per anni senza dissipare nulla. Heike Kamerlingh Onnes scoprì il fenomeno nel 1911 nel mercurio raffreddato a 4,2 K con elio liquido (Nobel 1913). Per i “superconduttori ad alta $T_c$” (Bednorz e Müller, 1986; Nobel 1987) le temperature arrivano a $\sim 90$ K, accessibili con azoto liquido. È ancora oggi un fenomeno solo parzialmente compreso, e una delle frontiere più attive della fisica della materia.

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Legge di Ohm

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