Procedimento sistematico

Le due leggi di Kirchhoff diventano davvero potenti quando si applicano in modo ordinato: seguendo sempre gli stessi passi si arriva a un sistema lineare di equazioni nelle correnti di ramo, che si risolve con i metodi dell’algebra. La difficoltà non sta nella fisica ma nella contabilità dei segni: per questo conviene fissare fin dall’inizio delle convenzioni rigide e non cambiarle in corsa.

I passi

1. Assegna un verso convenzionale a ogni corrente di ramo. La scelta è libera: se alla fine un valore risulta negativo, significa semplicemente che la corrente scorre nel verso opposto a quello ipotizzato.
2. Scrivi le equazioni ai nodi, in numero pari al numero di nodi meno uno (l’ultima equazione sarebbe combinazione lineare delle altre e non aggiunge informazione).
3. Scegli un insieme di maglie indipendenti e scrivi per ciascuna l’equazione della maglia, applicando le regole di segno.
4. Risolvi il sistema lineare così ottenuto.

Regole di segno lungo una maglia

Percorrendo la maglia nel verso scelto:

• generatore attraversato da $-$ a $+$: contributo $+\mathcal{E}$;
• generatore attraversato da $+$ a $-$: contributo $-\mathcal{E}$;
• resistore percorso nel verso della corrente: contributo $-R\,i$;
• resistore percorso contro la corrente: contributo $+R\,i$.

Il segno dei resistori riflette il fatto che, seguendo la corrente, il potenziale cala (si scende lungo la caduta $R\,i$); risalendo controcorrente il potenziale aumenta. Il segno dei generatori dipende invece solo dal verso in cui si attraversano i poli, non dalla corrente.

Uno schema-tipo

Un circuito a due maglie che condividono un ramo centrale è il banco di prova classico del metodo: due generatori $\mathcal{E}_1$ e $\mathcal{E}_2$, i resistori $R_1$ e $R_2$ sul percorso superiore e $R_3$ nel ramo centrale che collega i nodi A e B.

Schema a due maglie: si assegnano le correnti di ramo, si scrive l’equazione al nodo A e le equazioni delle due maglie indipendenti.

Con le correnti orientate, l’equazione al nodo A lega le tre correnti di ramo, mentre le due maglie forniscono le equazioni mancanti; il sistema risultante, tre equazioni in tre incognite, determina univocamente tutte le correnti.

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff

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