Problema — due batterie con Kirchhoff

Testo

Due batterie ideali, $\varepsilon_1 = 12\ \text{V}$ e $\varepsilon_2 = 9\ \text{V}$, alimentano una maglia con resistenze $R_1 = 3\ \Omega$ (in serie a $\varepsilon_1$), $R_2 = 1{,}5\ \Omega$ (in serie a $\varepsilon_2$) e $R_3 = 2\ \Omega$ in parallelo al nodo centrale. Applicando le leggi di Kirchhoff, calcola le correnti nei tre rami, assumendo versi coerenti con i generatori.

Schema: due rami-generatore ($\mathcal{E}_1,R_1$ a sinistra; $\mathcal{E}_2,R_2$ a destra) e il ramo centrale $R_3$, tutti fra i nodi A e B.

Soluzione

Impostazione. Detti $I_1$ (ramo di $\varepsilon_1$), $I_2$ (ramo di $\varepsilon_2$) le correnti entranti nel nodo A e $I_3$ quella uscente attraverso $R_3$, la legge dei nodi (Kirchhoff-corrente) dà $I_3 = I_1 + I_2$ Le due maglie (Kirchhoff-tensione), percorse dal generatore alla $R_3$, danno $\varepsilon_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3 \qquad \varepsilon_2 = I_2 R_2 + I_3 R_3$

Refuso nei dati del libro $R_1 = 3\ \Omega$ il sistema dà $I_1 \approx 1{,}8\ \text{A}$, $I_2 \approx 1{,}6\ \text{A}$, incompatibili con il risultato stampato $\{I_1 = 1\ \text{A},\ I_2 = 2\ \text{A}\}$. Quel risultato è consistente solo con $R_1 = 6\ \Omega$ (nessun valore di $R_3$ riproduce simultaneamente $1\ \text{A}$ e $2\ \text{A}$ con $R_1 = 3\ \Omega$). Verosimilmente la resistenza corretta è $R_1 = 6\ \Omega$; risolviamo con questo valore, che rende i dati coerenti.

Con

Sostituendo $I_3 = I_1 + I_2$ con $R_1 = 6$, $R_2 = 1{,}5$, $R_3 = 2$: $12 = 6 I_1 + 2(I_1 + I_2) = 8 I_1 + 2 I_2$ $9 = 1{,}5 I_2 + 2(I_1 + I_2) = 2 I_1 + 3{,}5 I_2$

Risoluzione. Dalla prima $4 I_1 + I_2 = 6$; sostituendo $I_2 = 6 - 4 I_1$ nella seconda: $2 I_1 + 3{,}5(6 - 4 I_1) = 9 \;\Rightarrow\; 2 I_1 + 21 - 14 I_1 = 9 \;\Rightarrow\; 12 I_1 = 12 \;\Rightarrow\; I_1 = 1\ \text{A}$ quindi $I_2 = 6 - 4 = 2\ \text{A}$ e $I_3 = I_1 + I_2 = 3\ \text{A}$.

Verifica: maglia 1: $6\cdot1 + 2\cdot3 = 12 = \varepsilon_1$ ✓; maglia 2: $1{,}5\cdot2 + 2\cdot3 = 9 = \varepsilon_2$ ✓.

$\ev{I_1 = 1\ \text{A} \qquad I_2 = 2\ \text{A} \qquad I_3 = 3\ \text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff