Esercizio svolto — circuito a tre rami con due generatori

Testo

Un circuito ha un nodo A (in alto) e un nodo B (in basso), collegati da tre rami in parallelo: ramo 1 con $\mathcal{E}_1 = 10\;\text{V}$ e $R_1 = 10\;\Omega$; ramo 2 con $R_2 = 20\;\Omega$; ramo 3 con $\mathcal{E}_2 = 20\;\text{V}$ e $R_3 = 30\;\Omega$. Trovare tutte le correnti $i_1$, $i_2$, $i_3$.

Tre rami in parallelo tra i nodi A e B.

Soluzione

Nodo A (correnti $i_1$, $i_2$ entranti, $i_3$ uscente): $i_1 + i_2 - i_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad i_3 = i_1 + i_2$

Maglie (correnti uscenti da A): $\mathcal{E}_1 - R_1\,i_1 - R_2\,i_2 = 0 \;\Rightarrow\; 10 - 10\,i_1 - 20\,i_2 = 0$ $R_2\,i_2 - \mathcal{E}_2 + R_3\,i_3 = 0 \;\Rightarrow\; 20\,i_2 - 20 + 30\,i_3 = 0$

Sostituisco $i_3 = i_1 + i_2$: $10\,i_1 + 20\,i_2 = 10 \qquad 20\,i_2 + 30\,(i_1 + i_2) = 20 \;\Rightarrow\; 30\,i_1 + 50\,i_2 = 20$

Dalla prima $i_1 = 1 - 2\,i_2$. Sostituisco nella seconda: $30(1 - 2i_2) + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; 30 - 60\,i_2 + 50\,i_2 = 20 \;\Rightarrow\; -10\,i_2 = -10 \;\Rightarrow\; i_2 = 1\;\text{A}$

Quindi: $i_1 = 1 - 2\cdot 1 = -1\;\text{A} \qquad i_3 = i_1 + i_2 = -1 + 1 = 0\;\text{A}$ Il segno negativo su $i_1$ indica che il generatore $\mathcal{E}_1$ è percorso in verso opposto a quello assunto.

$\ev{i_1 = -1\;\text{A},\quad i_2 = 1\;\text{A},\quad i_3 = 0\;\text{A}}$

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Leggi di Kirchhoff Competenze: Applicazione delle leggi di Kirchhoff