Il trucco dell'autosomiglianza

Un circuito a scala infinita è una catena periodica di celle identiche: su ogni cella un resistore $R_A$ in serie lungo il filo superiore e un resistore $R_B$ in shunt (verticale, tra i due fili). La rete non si può semplificare gruppo dopo gruppo, perché i gruppi sono infiniti. La strategia vincente sfrutta l’autosomiglianza: il sotto-circuito che parte dal secondo nodo è identico all’intero circuito.

Scala infinita: $R_A$ in serie sul filo superiore, $R_B$ in shunt. Il sotto-circuito dal secondo nodo in poi è identico all’intero, da cui l’equazione di autosomiglianza.

Sia $Z_\infty$ la resistenza equivalente vista ai terminali. Se si aggiunge una cella davanti, il resto della scala rimane identico e vale ancora $Z_\infty$. Ma la nuova cella è: $R_A$ in serie, poi $R_B$ in parallelo con tutto il resto ($Z_\infty$). Quindi $Z_\infty$ deve soddisfare l’equazione in cui compare da entrambi i lati:

$Z_\infty = R_A + \frac{R_B\,Z_\infty}{R_B + Z_\infty}$

Moltiplicando tutto per $(R_B + Z_\infty)$ e sviluppando:

$Z_\infty(R_B + Z_\infty) = R_A(R_B + Z_\infty) + R_B\,Z_\infty$

$Z_\infty^2 + R_B\,Z_\infty = R_A\,R_B + R_A\,Z_\infty + R_B\,Z_\infty$

Il termine $R_B Z_\infty$ si cancella e resta un’equazione di secondo grado:

Formula chiave

$\ev{Z_\infty^2 - R_A\,Z_\infty - R_A\,R_B = 0}$

La formula risolutiva dà due radici; solo quella positiva è fisicamente accettabile (una resistenza non può essere negativa):

$\ev{Z_\infty = \frac{R_A + \sqrt{R_A^2 + 4\,R_A R_B}}{2}}$

Principio — Autosomiglianza

Un circuito infinito periodico è identico a se stesso privato della prima cella. Imporre questa uguaglianza traduce la struttura infinita in una singola equazione algebrica per $Z_\infty$.

Collegamenti

Argomenti: Circuiti elettrici Concetti: Resistenze in serie e parallelo Competenze: Impostazione simbolica

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