Esercizio svolto — Il ciclista e lo specchio acustico

Testo

Un ciclista si muove verso un muro alla velocità $v = 30\;\text{m/s}$ emettendo un suono di frequenza $f_S = 440\;\text{Hz}$. Il muro agisce come uno “specchio acustico”, riflettendo l’onda alla stessa frequenza con cui l’ha ricevuta. Trova (a) la frequenza che il muro “sente”; (b) la frequenza che il ciclista sente tornare dopo la riflessione. Velocità del suono: $v_0 = 340\;\text{m/s}$.

Soluzione

Impostazione. Il problema è un doppio effetto Doppler: prima il ciclista (sorgente in moto) verso il muro (ricevitore fermo), poi il muro (sorgente ferma) verso il ciclista (ricevitore in moto).

(a) Primo Doppler — il muro riceve. Sorgente in avvicinamento, ricevitore fermo:

$f_\text{muro} = f_S\,\frac{v_0}{v_0 - v} = 440\cdot\frac{340}{340-30} = 440\cdot\frac{340}{310}$

$\ev{f_\text{muro} \approx 482{,}6\;\mathrm{Hz}}$

(b) Secondo Doppler — il ciclista riceve. Il muro riemette a $f_\text{muro}$ come sorgente ferma; il ciclista è ora ricevitore in avvicinamento:

$f_\text{cic} = f_\text{muro}\,\frac{v_0 + v}{v_0} = 482{,}6\cdot\frac{340+30}{340} = 482{,}6\cdot\frac{370}{340}$

$\ev{f_\text{cic} \approx 525\;\mathrm{Hz}}$

Il ciclista sente il suo stesso suono tornargli con quasi un tono e mezzo in più (da $440$ a $525$ Hz). È il principio del sonar e dell’ecografia Doppler: dal doppio shift si ricava la velocità del bersaglio.

Esercizio inverso. Se il ciclista sentisse il riflesso a $f_\text{rif} = 700\;\text{Hz}$, combinando i due Doppler consecutivi $f_\text{rif}/f_S = (v_0+v)/(v_0-v)$, da cui:

$v = v_0\,\frac{f_\text{rif}-f_S}{f_\text{rif}+f_S} = 340\cdot\frac{700-440}{700+440} = 340\cdot\frac{260}{1140} \approx 77{,}5\;\mathrm{m/s}$

Circa $280$ km/h: un ciclista da record!

Collegamenti

Argomenti: Onde Concetti: Effetto Doppler Competenze: Analisi di casi limite e fantafisica