Equazione differenziale del circuito RLC forzato

Colleghiamo in serie un generatore sinusoidale, un resistore $R$, un condensatore $C$ e un induttore $L$. Percorriamo il circuito nel verso della corrente $i$ e applichiamo la legge di Kirchhoff: la somma delle differenze di potenziale deve essere nulla.

Conveniamo che $Q(t)$ sia la carica accumulata sul condensatore e che la corrente esca dal condensatore, quindi $i = -\,dQ/dt$. Percorrendo il circuito nel verso di $i$:

• generatore: $+\Delta V_\text{gen}(t)$ (guadagno di potenziale);
• resistore: $-R\,i$ (caduta);
• condensatore: $+Q/C$ (la carica accumulata spinge la corrente nel verso percorso);
• induttore: $-L\,di/dt$ (caduta per autoinduzione).

Sostituendo $i = -dQ/dt$ e $di/dt = -d^2Q/dt^2$:

$\Delta V_\text{gen}(t) + R\,\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{C} + L\,\frac{d^2Q}{dt^2} = 0$

Equazione differenziale del circuito RLC forzato

$\ev{L\,\ddot{Q} + R\,\dot{Q} + \frac{Q}{C} = -\Delta V_\text{gen}(t)}$ dove il punto denota la derivata rispetto al tempo. Il termine forzante è la tensione del generatore; quando $\Delta V_\text{gen} = 0$ si ricade nell’oscillazione libera smorzata.

L’equazione è formalmente identica a quella di un pendolo smorzato forzato, con il dizionario: $L \leftrightarrow m$ (massa), $R \leftrightarrow b$ (smorzamento), $1/C \leftrightarrow k$ (rigidezza), $-\Delta V_\text{gen} \leftrightarrow F_\text{esterna}$ (forzante).

Come per ogni oscillatore forzato, l’ampiezza della risposta è massima quando il generatore oscilla alla frequenza propria del circuito LC. Questa frequenza di risonanza è:

$\ev{\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Oscillazioni LC e RLC · Risonanza

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