Reattanze e impedenza

Sotto la radice della formula della corrente compare una combinazione di $R$, $\omega L$ e $1/(\omega C)$. Questi tre termini hanno tutti le stesse dimensioni (ohm) e giocano ruoli analoghi: definiscono quanto si oppone ciascun elemento al passaggio di una corrente alternata di pulsazione $\omega$. Li chiamiamo resistenza $R$, reattanza induttiva e reattanza capacitiva:

Reattanze

$\ev{X_L = \omega L \qquad X_C = \frac{1}{\omega C}}$

Sono “pseudo-resistenze” che dipendono dalla frequenza: $X_L$ cresce con $\omega$ (un’induttanza blocca le alte frequenze), $X_C$ decresce con $\omega$ (un condensatore blocca la corrente continua e lascia passare l’alta frequenza).

Per un circuito RLC serie alimentato da un generatore sinusoidale si definisce l’impedenza $Z$ come il rapporto tra ampiezze di tensione e corrente:

Impedenza RLC serie

$\ev{Z = \frac{V_0}{I_0} = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}}$

misurata in ohm. La legge di Ohm si estende alla corrente alternata nella forma $V_0 = Z\,I_0$ (per i valori efficaci $V_\text{eff} = Z\,I_\text{eff}$). Lo sfasamento $\varphi$ tra tensione e corrente vale

$\tan\varphi = \frac{X_L - X_C}{R}$

ed è positivo quando prevale l’induttore (corrente in ritardo sulla tensione) e negativo quando prevale il condensatore (corrente in anticipo). Alla risonanza $X_L = X_C$: le reattanze si cancellano, l’impedenza si riduce alla sola $R$ e $\varphi = 0$.

Formula chiave

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad \text{risonanza: } X_L = X_C \Rightarrow \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\ Z_{\min} = R$

Esempio — RLC alla rete domestica

Un circuito con $R = 50\;\Omega$, $L = 0{,}10$ H e $C = 20\;\mu\text{F}$ è alimentato alla rete italiana ($V_\text{eff} = 230$ V, $f = 50$ Hz, $\omega = 2\pi\cdot 50 \approx 314$ rad/s).

• $X_L = \omega L = 314\cdot 0{,}10 \approx 31{,}4\;\Omega$.
• $X_C = 1/(\omega C) = 1/(314\cdot 2\cdot 10^{-5}) \approx 159\;\Omega$.
• $Z = \sqrt{50^2 + (31{,}4 - 159)^2} \approx \sqrt{2500 + 16\,280} \approx 137\;\Omega$.
• $I_\text{eff} = V_\text{eff}/Z = 230/137 \approx 1{,}68$ A.
• $\tan\varphi = (31{,}4 - 159)/50 \approx -2{,}55$, quindi $\varphi \approx -68^\circ$ (corrente in anticipo: domina $C$).

La frequenza di risonanza sarebbe $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) \approx 113$ Hz, ben sopra i 50 Hz di rete: per questo a 50 Hz il circuito è “capacitivo”.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata · Risonanza · Legge di Ohm

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