Il metodo dei fasori

Nei circuiti in continua le tensioni “si sommano” come numeri ordinari; in alternata questa regola si spezza, perché due tensioni sinusoidali di uguale frequenza ma sfasate non si sommano come scalari. Il trucco grafico che risolve il problema si chiama metodo dei fasori.

A ogni grandezza sinusoidale $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ associamo un vettore di lunghezza $X_0$ che ruota nel piano con velocità angolare $\omega$, formando un angolo $\phi$ con l’asse orizzontale all’istante $t = 0$. La proiezione del vettore sull’asse orizzontale riproduce la funzione $x(t)$.

Diagramma dei fasori per un circuito RLC serie (caso $X_L > X_C$). Il fasore $V_R$ è in fase con la corrente; $V_L$ è in anticipo di $90^\circ$, $V_C$ in ritardo di $90^\circ$. La somma vettoriale dei tre è il fasore della tensione totale $V_0$, ruotato di $\varphi$ rispetto a $I_0$.

Regole dei fasori

• Per un resistore, il fasore tensione è parallelo al fasore corrente (sfasamento zero).
• Per un induttore, il fasore tensione è ruotato di $+90^\circ$ rispetto alla corrente (tensione in anticipo).
• Per un condensatore, il fasore tensione è ruotato di $-90^\circ$ rispetto alla corrente (tensione in ritardo).

In un RLC serie la corrente è la stessa in ogni elemento: usiamo il suo fasore $I_0$ come riferimento. I tre fasori tensione $V_R = R\,I_0$, $V_L = X_L\,I_0$ e $V_C = X_C\,I_0$ si sommano vettorialmente, perché $\Delta V_\text{tot}(t) = V_R(t) + V_L(t) + V_C(t)$. Il modulo della somma è proprio $V_0 = I_0\sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = Z\,I_0$, e l’angolo rispetto a $I_0$ è $\varphi$: ritroviamo le formule ottenute analiticamente, questa volta con un disegno.

Fasori come numeri complessi

La rappresentazione diventa compatta se identifichiamo il piano dei fasori con il piano complesso. A ogni grandezza sinusoidale $x(t) = X_0\cos(\omega t + \phi)$ associamo il numero complesso $\tilde{X} = X_0\,e^{i\phi}$; derivare nel tempo corrisponde a moltiplicare per $i\omega$. Allora $\tilde{V}_R = R\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_L = i\omega L\,\tilde{I}$, $\tilde{V}_C = -\dfrac{i}{\omega C}\,\tilde{I}$. Le impedenze complesse sono $Z_R = R$, $Z_L = i\omega L$, $Z_C = 1/(i\omega C)$; in serie si sommano, e la legge di Ohm diventa $\tilde{V} = Z\tilde{I}$ con $Z = R + i(X_L - X_C)$. Il modulo $|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ ritrova la formula reale; l’argomento $\arg Z = \varphi$ è lo sfasamento.

Scoperto che un $\vv{B}$ variabile genera un $\vv{E}$, nel prossimo capitolo vedremo che, per simmetria, un $\vv{E}$ variabile genera un $\vv{B}$: il risultato che James Clerk Maxwell pose a fondamento delle sue equazioni, spiegando in un colpo solo elettricità, magnetismo e luce.

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Corrente alternata Competenze: Metodo dei fasori

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