Problema — FEM indotta nel tempo (grafico)

Testo

Una spira rettangolare di lato verticale $\ell$ si muove con velocità costante $v$ verso destra. A partire da $t=0$ entra in una regione di campo $B$ uniforme entrante nella pagina (rettangolo tratteggiato) e all’istante $t_2$ inizia a uscirne. (a) Disegna l’andamento della fem indotta $E(t)$, indicando i tre intervalli (ingresso, interno, uscita) e il segno di ciascuno. (b) Quanto vale il valore di picco in funzione di $B$, $\ell$, $v$? (c) Disegna anche $i(t)$ nella spira chiusa su una resistenza $R$ e la forza esterna $F_\text{ext}(t)$ necessaria a mantenere $v$ costante.

La spira (rossa) si muove verso destra ed entra nella regione di campo $\vv{B}$ entrante (tratteggiata).

Soluzione

Il flusso attraverso la spira cambia solo mentre un lato verticale attraversa il bordo della regione: in quei tratti la fem indotta vale, in modulo, $\abs{E}=B\,\ell\,v$ (fem cinetica del lato lungo $\ell$ che si muove a velocità $v$).

Tre fasi.

• Ingresso ($0\le t<t_1$): l’area immersa cresce, il flusso entrante aumenta. Prendendo positivo il verso orario, la fem indotta si oppone all’aumento: è un impulso rettangolare di segno negativo, di modulo $B\ell v$.
• Interno ($t_1\le t<t_2$): la spira è tutta dentro, il flusso è costante, $E=0$.
• Uscita ($t_2\le t<t_3$): l’area immersa diminuisce, il flusso cala. La fem cambia segno: impulso rettangolare positivo, di modulo $B\ell v$.

Andamento di $E(t)$: impulso rettangolare negativo all’ingresso, zero all’interno, positivo in uscita.

(b) Valore di picco. $\abs{E}_\text{max}=B\,\ell\,v$

(c) Corrente e forza esterna. La corrente segue la legge di Ohm, $i=E/R$: ha la stessa forma rettangolare della fem, riscalata di $1/R$, con picco $\abs{i}_\text{max}=B\ell v/R$. Sul lato immerso percorso da corrente agisce la forza di Laplace, che per Lenz frena il moto; per tenere $v$ costante l’agente esterno deve applicare una forza uguale e contraria: $F_\text{ext}=i\,\ell\,B=\frac{B^2\ell^2 v}{R}\quad(\text{durante ingresso e uscita}),\qquad F_\text{ext}=0\ (\text{all'interno})$ Anche $F_\text{ext}(t)$ è dunque a impulsi rettangolari, non nulla solo nelle fasi di ingresso e uscita. Il lavoro di $F_\text{ext}$ è dissipato in $R$ per effetto Joule.

$\ev{\abs{E}_\text{max}=B\ell v,\quad i=\frac{B\ell v}{R},\quad F_\text{ext}=\frac{B^2\ell^2 v}{R}\ \text{(ingresso/uscita)}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Legge di Faraday-Neumann-Lenz · Legge di Lenz Competenze: Bilancio di flusso