Transitorio RL: costante di tempo

Testo

A $t = 0$ un interruttore chiude un circuito serie con $\mathcal{E} = 6{,}0 \ \mathrm{V}$, $R = 3{,}0 \ \mathrm{\Omega}$, $L = 0{,}6 \ \mathrm{H}$ (induttore ideale). (a) Scrivi l’equazione che governa la corrente e identifica la costante di tempo $\tau$. (b) Disegna qualitativamente $i(t)$ indicando la tangente in $t=0$ e l’asintoto. (c) Dopo quanto tempo la corrente raggiunge il $90\%$ del valore finale?

Circuito RL serie con batteria, resistore e induttore.

Soluzione

(a) Equazione e costante di tempo. La maglia dà $\mathcal{E} = R\,i + L\,\ddt{i}$, la cui soluzione con $i(0)=0$ è: $i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R} = \frac{0{,}6}{3{,}0} = \ev{0{,}2 \ \mathrm{s}}$

(b) Andamento. Valore finale (asintoto): $i_{\max} = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{6{,}0}{3{,}0} = \ev{2{,}0 \ \mathrm{A}}$ La tangente iniziale ha pendenza $\ddt{i}\big|_0 = \dfrac{\mathcal{E}}{L} = 10 \ \mathrm{A/s}$ e incontra l’asintoto in $t=\tau$.

Crescita esponenziale: tangente iniziale (blu) e asintoto $i_{\max}$.

(c) Tempo al 90%. $0{,}90 = 1 - e^{-t/\tau} \ \Rightarrow \ e^{-t/\tau} = 0{,}10 \ \Rightarrow \ t = \tau \ln 10 = 0{,}2 \cdot 2{,}303 \approx \ev{0{,}46 \ \mathrm{s}}$

Collegamenti

Argomenti: Induzione elettromagnetica Concetti: Induttanza e autoinduzione · Circuito RC · Legge di Ohm