Problema — Velocità della luce da costanti del vuoto

Testo

Verifica numericamente la relazione di Maxwell $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}$, usando $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{T·m/A}$ e $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\;\text{C}^2/(\text{N·m}^2)$. Mostra inoltre che il risultato ha le dimensioni di una velocità.

Soluzione

Prodotto delle costanti.

$\mu_0\varepsilon_0 = (4\pi\cdot 10^{-7})\cdot(8{,}85\cdot 10^{-12}) \approx 1{,}11\cdot 10^{-17}$

Radice e reciproco.

$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{1{,}11\cdot 10^{-17}}} = \frac{1}{3{,}34\cdot 10^{-9}} \approx 3{,}00\cdot 10^8\;\text{m/s}$

$\ev{c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \approx 3{,}00\cdot 10^8\;\mathrm{m/s}}$

Controllo dimensionale. Da $\mu_0$ in T·m/A e $\varepsilon_0$ in C$^2$/(N·m$^2$), ricordando che $1\;\text{T} = 1\;\text{N}/(\text{A·m})$ e $1\;\text{C} = 1\;\text{A·s}$:

$[\mu_0\varepsilon_0] = \frac{\text{N}}{\text{A}^2}\cdot\frac{\text{A}^2\text{s}^2}{\text{N·m}^2} = \frac{\text{s}^2}{\text{m}^2}$

Quindi $[1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}] = \text{m/s}$: è davvero una velocità. Il fatto che questo numero coincida con la velocità della luce misurata fu per Maxwell la prova che la luce è un’onda elettromagnetica.

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Equazioni di Maxwell Competenze: Analisi dimensionale