Maxwell in forma differenziale

Le quattro equazioni di Maxwell scritte finora sono in forma integrale: parlano di flussi su superfici e circuitazioni lungo curve chiuse. Esiste una forma equivalente, più compatta, che le riscrive in ogni punto dello spazio senza integrali:

$\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\vec{B} = 0$

$\nabla\wedge\vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}, \qquad \nabla\wedge\vec{B} = \mu_0\,\vec{j} + \mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Il simbolo $\nabla$ (nabla) è un “vettore di derivate parziali” $\left(\partial/\partial x,\;\partial/\partial y,\;\partial/\partial z\right)$:

• $\nabla\cdot\vec{F}$ (divergenza) misura quanto un campo “parte da quel punto”, cioè le sue sorgenti puntuali;
• $\nabla\wedge\vec{F}$ (rotore) misura quanto un campo “ruota attorno a quel punto”, cioè i suoi vortici locali.

Contesto storico

La forma differenziale è quella in cui Maxwell scrisse il suo trattato del 1865 (con la notazione dei quaternioni di Hamilton); la forma vettoriale moderna è di Oliver Heaviside, negli anni 1880. Per le applicazioni numeriche — ogni simulazione di antenne, di microonde, di onde gravitazionali — è la forma usata in pratica. Per il liceo basta sapere che esiste ed è completamente equivalente alla forma integrale (Mazzoldi 2008).

Collegamenti

Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Equazioni di Maxwell

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