Problema — Simmetria E-B e asimmetrie

Testo

Le quattro equazioni di Maxwell mostrano una simmetria parziale fra il campo elettrico $\vv E$ e il campo magnetico $\vv B$. Individua almeno tre asimmetrie strutturali fra le coppie di leggi omologhe.

Soluzione

Le quattro leggi (forma sintetica):

$\nabla\cdot\vv E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}\qquad \nabla\cdot\vv B = 0$

$\nabla\times\vv E = -\frac{d\vv B}{dt}\qquad \nabla\times\vv B = \mu_0\vv j + \mu_0\varepsilon_0\frac{d\vv E}{dt}$

Prima asimmetria — le sorgenti (leggi di Gauss). La legge di Gauss elettrica ha un termine sorgente, la densità di carica: $\nabla\cdot\vv E = \rho/\varepsilon_0$. La legge di Gauss magnetica ha secondo membro nullo: $\nabla\cdot\vv B = 0$. Ciò riflette l’esistenza di cariche elettriche isolate ma l’assenza di monopoli magnetici (le linee di $\vv B$ sono sempre chiuse).

Seconda asimmetria — corrente e flusso variabile (leggi del rotore). Nella legge di Ampère-Maxwell $\vv B$ ha due sorgenti: la corrente di conduzione $\vv j$ e il flusso elettrico variabile $d\vv E/dt$. Nella legge di Faraday, invece, $\vv E$ è generato solo dal flusso magnetico variabile $-d\vv B/dt$: manca il termine analogo di “corrente magnetica” (di nuovo per l’assenza di monopoli).

Terza asimmetria — segni e costanti. Compare un segno meno nella legge di Faraday ($-d\vv B/dt$, legge di Lenz) che non ha corrispondente positivo simmetrico nell’altra legge; inoltre i ruoli sono pesati da costanti diverse, $\varepsilon_0 \neq \mu_0$, così che $\vv E$ e $\vv B$ non entrano nelle equazioni in modo perfettamente scambiabile.

$\ev{\text{(1) sorgenti: } \rho \text{ vs } 0;\ \text{(2) doppia sorgente di } \vv B \text{ vs singola di } \vv E;\ \text{(3) segno di Lenz e } \varepsilon_0\neq\mu_0}$

La simmetria diventa quasi perfetta solo nel vuoto senza sorgenti ($\rho = 0$, $\vv j = 0$): è proprio lì che le equazioni assumono forma simmetrica e ammettono come soluzione le onde elettromagnetiche.

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Argomenti: Onde elettromagnetiche Concetti: Equazioni di Maxwell