L'invariante di Minkowski

In relatività galileiana l’intervallo di tempo $\Delta t$ e la distanza spaziale $\Delta s = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ tra due eventi erano separatamente invarianti, cioè uguali in ogni sistema di riferimento. La dilatazione dei tempi ci ha già mostrato che in relatività ristretta questo non è più vero: né $\Delta t$ né $\Delta s$ si conservano nel passaggio da un SR all’altro. Eppure non tutto è relativo — esiste una precisa combinazione di spazio e tempo che tutti gli osservatori misurano identica.

Principio — Invariante spazio-temporale

Se due eventi $E_1$ ed $E_2$ hanno in un SR differenza di tempo $\Delta t$ e differenza spaziale $\Delta s$, la quantità $\ev{(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s/c)^2}$ ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali. È l’invariante di Minkowski.

Il segno meno è ciò che distingue lo spazio-tempo dalla geometria ordinaria: non è un teorema di Pitagora (dove i quadrati si sommano), ma una sua versione “iperbolica” in cui il tempo e lo spazio entrano con segno opposto. Il segno del risultato classifica la relazione tra i due eventi.

Se $(\Delta\tau)^2 > 0$ l’intervallo è di tipo tempo: esiste un SR in cui i due eventi sono cospaziali (avvengono nello stesso punto), e in esso $\Delta\tau$ è proprio il loro tempo proprio. Sono eventi che possono essere collegati causalmente, perché un segnale più lento della luce può andare dall’uno all’altro.

Se $(\Delta\tau)^2 < 0$ l’intervallo è di tipo spazio: esiste un SR in cui i due eventi sono simultanei (ma non cospaziali), e la loro distanza spaziale in quel SR è la lunghezza propria. Sono eventi troppo lontani nello spazio e troppo vicini nel tempo perché la luce faccia in tempo a collegarli: nessuno dei due può influenzare l’altro.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Invariante spazio-temporale · Dilatazione dei tempi Metodi: Diagramma di Minkowski

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