La gara di conigli

Testo

Matilda e Roger partono simultaneamente (per lo spettatore) da posizioni $-1000$~sl e $+1000$~sl e corrono verso il traguardo opposto. Nello spettatore (SRS), entrambi raggiungono il rispettivo traguardo all’istante $t=2500$~s. Quanto tempo proprio passa per Matilda fra partenza e arrivo? A che velocità ha corso?

Soluzione

Unità naturali $c=1$. Lavoriamo nel SR dello spettatore (SRS).

Dati di Matilda in SRS. Parte da $s=-1000$~sl e arriva a $s=+1000$~sl, quindi $\Delta s = 2000$~sl, nel tempo $\Delta t = 2500$~s.

Velocità. Nello stesso SR (SRS) la velocità è il rapporto fra spazio e tempo misurati entrambi in SRS: $v_M=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{2000}{2500}=0{,}8 \;\Rightarrow\; \ev{v_M=0{,}8\,c}$

Tempo proprio. Il tempo che scorre sull’orologio di Matilda è l’invariante fra partenza e arrivo: $\Delta\tau_M=\sqrt{\Delta t^2-\Delta s^2}=\sqrt{2500^2-2000^2}=\sqrt{6\,250\,000-4\,000\,000}=\sqrt{2\,250\,000}$ $\ev{\Delta\tau_M=1500\ \text{s}}$ (Roger è perfettamente simmetrico: stessi numeri, $v_R=0{,}8\,c$ e $\Delta\tau_R=1500$~s.)

"Ho viaggiato più veloce della luce!"? $\Delta s/\Delta\tau_M = 2000/1500 \approx 1{,}33\,c$ e concludere che Matilda ha superato la luce. Sbagliato! Non si possono combinare una distanza misurata in un SR (i $2000$~sl dello spettatore) con un tempo misurato in un altro SR (i $1500$~s propri di Matilda): i due numeri sono espressi in "unità" di riferimenti diversi. La velocità corretta è sempre $\Delta s^{(A)}/\Delta t^{(A)}$, spazio e tempo nello stesso SR: qui $2000/2500=0{,}8\,c<c$.

Si potrebbe essere tentati di calcolare

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Costruzione di diagrammi di Minkowski · Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski · Unità naturali