Il paradosso dei gemelli

Il paradosso dei gemelli è forse l’esempio più celebre — e più discusso — della relatività ristretta. Caterina parte dalla Terra a $t=0$ e viaggia verso Alfa Centauri, distante $L=4$ anni-luce, a velocità $v=0{,}9\,c$; arrivata, inverte la rotta e torna alla stessa velocità. Suo fratello gemello Simone la aspetta a casa, fermo sulla Terra. Quando Caterina torna, quanti anni sono passati per lei, e quanti per lui?

Il viaggio di Caterina: andata verso Alfa Centauri e ritorno, mentre Simone resta fermo sulla Terra.

Un percorso concettuale al risultato

Lavoriamo in unità dove $c=1$ a.l./anno. Per Simone, che resta nel sistema di riferimento della Terra, Caterina viaggia di moto uniforme: l’andata dura $L/v = 4/0{,}9 \approx 4{,}44$ anni, e altrettanto il ritorno, per un totale di circa $8{,}9$ anni. Per Caterina, invece, ciò che conta è il tempo proprio lungo la sua linea di mondo, che si ricava dall’invariante applicato al tratto di andata:

$(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2 = 4{,}44^2 - 4^2 \approx 3{,}7,$

da cui $\Delta\tau_\text{andata} \approx 1{,}9$ anni; per simmetria il ritorno dura lo stesso, e il totale per Caterina è di circa $3{,}9$ anni. Il calcolo numerico completo è svolto in un esercizio dedicato; qui basta il risultato: al ritorno Caterina è invecchiata di circa $3{,}9$ anni, Simone di circa $8{,}9$. La differenza è di circa 5 anni. Se all’inizio erano gemelli identici, al ritorno Caterina è più giovane — e non si tratta di un’illusione ottica: è davvero vissuta meno tempo.

Perché non è davvero un paradosso

Perché non è un "paradosso"

A prima vista sembra contraddittorio: non potrebbe Caterina sostenere, con pari diritto, che è Simone a essersi mosso rispetto a lei, e quindi che dovrebbe essere lui il più giovane? La risposta è no, e il motivo è che i loro ruoli non sono simmetrici. Caterina è quella che ha cambiato sistema di riferimento a metà viaggio, invertendo la rotta: ha sperimentato un’accelerazione. Simone è invece sempre rimasto in un unico sistema inerziale. L’invariante $(\Delta\tau)^2 = (\Delta t)^2 - (\Delta s)^2$ va applicato separatamente ai due tratti, andata e ritorno, e la somma dei due tempi propri di Caterina risulta inferiore al tempo totale di Simone. È l’asimmetria — solo Caterina cambia SR — a rompere il presunto paradosso.

La spiegazione è un caso particolare della massimizzazione del tempo proprio: la linea di mondo di Simone è “diritta” (un solo SR), quella di Caterina è “spezzata” (due tratti). Da qui la regola d’oro: tra due eventi connessi da un moto, il tempo proprio è massimo per una traiettoria rettilinea uniforme e decresce se il viaggiatore cambia sistema di riferimento. In una frase: “invecchia di più chi resta fermo”.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Invariante spazio-temporale Competenze: Cambio di sistema di riferimento Metodi: Diagramma di Minkowski

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