Il solenoide relativistico

Chiudiamo con una sorpresa che collega la relatività all’elettromagnetismo in modo elegante e quasi elementare. Un solenoide di $N$ spire e lunghezza $\ell$, percorso da corrente $i$, produce al suo interno un campo magnetico

$|\vec{B}|_B = \mu_0\,i\,\frac{N}{\ell}$

misurato nel suo sistema di riferimento proprio, SRB. Ora consideriamo un osservatore SRA che vede il solenoide muoversi a velocità $v$ lungo il proprio asse. Per la contrazione delle lunghezze, nel SRA il solenoide è più corto:

$\ell_A = \ell\,\sqrt{1 - v^2/c^2} = \frac{\ell}{\gamma}$

Il punto cruciale è che il numero di spire $N$ resta invariante: è un conteggio oggettivo, perché gli atomi del filo sono gli stessi in ogni sistema di riferimento e nessuna spira può apparire o sparire cambiando osservatore. Ma se $N$ resta fisso mentre la lunghezza si contrae di un fattore $\gamma$, allora nel SRA la densità di spire $N/\ell_A$ è più grande dello stesso fattore. Il campo cresce di conseguenza:

$\ev{|\vec{B}|_A = \mu_0\,i\,\frac{N}{\ell_A} = \gamma\cdot|\vec{B}|_B}$

Il campo magnetico è dunque più intenso proprio perché le spire, contratte, sono state stipate più vicine tra loro. Questo è un modo particolarmente pulito di dimostrare che $\vec{E}$ e $\vec{B}$ “si mescolano” sotto le trasformazioni di Lorentz: il concetto stesso di “campo magnetico puro” è relativo al sistema di riferimento, e lo stesso filo, guardato da un altro SR, produce un campo diverso. Einstein usò proprio questo tipo di argomento — geometrico, senza mai invocare il formalismo dei tensori — per convincersi che elettromagnetismo e relatività fossero inseparabili, due facce di una stessa struttura.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Contrazione delle lunghezze Oggetti: Solenoide

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