Problema — Galleria a 0,8c

Testo

Un treno di lunghezza propria $L=200$ m viaggia a $v=0{,}8\,c$ verso una galleria a riposo, anch’essa lunga $L=200$ m. Agli imbocchi ci sono due cancelli. (1) Quanto misura il treno nel SR della galleria (SRB)? (2) Nel SR del treno (SRA), quanto tempo intercorre fra la chiusura del cancello d’uscita e quella del cancello d’ingresso?

Soluzione

Fattore di Lorentz. $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}8^2}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667$

(1) Lunghezza del treno nel SR della galleria. Il treno è in moto rispetto a SRB, quindi appare contratto lungo la direzione del moto: $L_{(B)} = \frac{L}{\gamma} = \frac{200\ \text{m}}{5/3} = 200\cdot\frac{3}{5}\ \text{m} = \ev{L_{(B)} = 120\ \text{m}}$ Il treno contratto (120 m) è più corto della galleria (200 m): ci sta comodamente dentro, e in SRB i due cancelli possono chiudersi simultaneamente con il treno intrappolato.

(2) Sfasamento delle chiusure nel SR del treno. Nel SR della galleria gli eventi $E_1$ (chiusura ingresso) ed $E_2$ (chiusura uscita) sono simultanei e separati spazialmente dalla lunghezza propria della galleria $L=200$ m. Per la relatività della simultaneità, nel SR del treno l’intervallo è $\Delta t_{(A)} = \gamma\,\frac{v}{c^2}\,L = \gamma\,\frac{v\,L}{c^2}$ Sostituendo $v=0{,}8\,c$, cioè $v = 0{,}8\cdot 3\cdot 10^8$ m/s, e $c^2 = 9\cdot 10^{16}$ m²/s²: $\Delta t_{(A)} = \frac{5}{3}\cdot\frac{0{,}8\cdot 3\cdot 10^8\cdot 200}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot\frac{4{,}8\cdot 10^{10}}{9\cdot 10^{16}} = \frac{5}{3}\cdot 5{,}33\cdot 10^{-7}\ \text{s}$

$\ev{\Delta t_{(A)} \approx 8{,}9\cdot 10^{-7}\ \text{s}}$

Interpretazione. Nel SR del treno la galleria è contratta ($120$ m) e più corta del treno ($200$ m): sembra impossibile chiudere entrambi i cancelli con il treno dentro. Il paradosso si scioglie proprio grazie a questo $\Delta t_{(A)}$: il cancello d’uscita si chiude e riapre prima di quello d’ingresso, quindi non esiste mai un istante, per il macchinista, in cui il treno è imprigionato fra due cancelli chiusi.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Contrazione delle lunghezze · Relatività della simultaneità Competenze: Cambio di sistema di riferimento