Astronauta verso Proxima Centauri

Testo

Un astronauta parte per Proxima Centauri ($\sim 4$ anni luce) viaggiando a $v = 0{,}80\,c$. Cosa misura il suo orologio per il viaggio di andata? Cosa misurano gli orologi sulla Terra? Come si concilia con l’idea che “il tempo è tempo”?

Soluzione

Fattore di Lorentz. Con $\beta = 0{,}80$:

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}80^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \frac{1}{0{,}6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67.$

Tempo misurato dagli orologi terrestri. Nel riferimento della Terra la distanza è $d = 4$ anni luce e la velocità $0{,}80\,c$, quindi

$\Delta t_{\text{Terra}} = \frac{d}{v} = \frac{4\ \text{a.l.}}{0{,}80\,c} = 5\ \text{anni}.$

Tempo proprio a bordo. L’orologio dell’astronauta segna il tempo proprio, ridotto del fattore $\gamma$:

$\Delta\tau = \frac{\Delta t_{\text{Terra}}}{\gamma} = 5 \times 0{,}6 = 3\ \text{anni}.$

Verifica dal punto di vista dell’astronauta. Per lui la Terra e Proxima si muovono, e la distanza è contratta: $d' = d/\gamma = 4 \times 0{,}6 = 2{,}4$ a.l. Il tempo di viaggio è allora $d'/v = 2{,}4/0{,}80 = 3$ anni, in accordo.

$\ev{\Delta\tau_{\text{bordo}} = 3\ \text{anni}, \qquad \Delta t_{\text{Terra}} = 5\ \text{anni}}$

“Il tempo è tempo”. Non c’è contraddizione: non esiste un tempo assoluto uguale per tutti. Ogni orologio misura correttamente il tempo lungo la propria linea di universo. L’astronauta ha percorso un cammino spaziotemporale diverso da quello di chi resta a Terra, quindi accumula meno tempo proprio. Al ritorno sarà davvero più giovane dei coetanei rimasti.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Contrazione delle lunghezze Competenze: Cambio di sistema di riferimento