Il muone dei raggi cosmici

Testo

Un muone creato dai raggi cosmici nell’alta atmosfera ha vita media $\tau_0\approx 2{,}2\;\mu$s nel suo sistema di riposo. Eppure molti muoni raggiungono la superficie terrestre dopo aver percorso $\sim 10$ km. Come si concilia con $c\tau_0 \approx 660$ m? Spiega in entrambi i punti di vista (Terra e muone).

Soluzione

Il problema classico. Percorrendo alla velocità della luce durante la sua vita media, un muone coprirebbe solo

$c\,\tau_0 \approx (3\cdot 10^8)(2{,}2\cdot 10^{-6}) \approx 660\ \text{m},$

ben meno dei $10$ km di atmosfera. Senza relatività, quasi nessun muone arriverebbe a terra. Invece ne arrivano tanti: la spiegazione è la stessa da entrambi i punti di vista, ma con meccanismi diversi.

Punto di vista della Terra — dilatazione dei tempi. Il muone viaggia a $v\approx 0{,}998\,c$, con $\gamma \approx 15$. Nel riferimento terrestre la sua vita media appare dilatata:

$\tau = \gamma\,\tau_0 \approx 15 \times 2{,}2\ \mu\text{s} \approx 33\ \mu\text{s}.$

In questo tempo percorre $v\,\tau \approx (3\cdot 10^8)(33\cdot 10^{-6}) \approx 10$ km: arriva a terra.

Punto di vista del muone — contrazione delle lunghezze. Nel suo riferimento il muone vive solo $\tau_0 = 2{,}2\ \mu$s, ma è l’atmosfera a muovergli incontro a $0{,}998\,c$, e il suo spessore è contratto:

$L = \frac{L_0}{\gamma} \approx \frac{10\ \text{km}}{15} \approx 660\ \text{m}.$

Questi $660$ m sono proprio $\approx c\,\tau_0$: il muone fa in tempo ad attraversarli.

$\ev{\text{Terra: } \tau=\gamma\tau_0;\quad \text{muone: } L=L_0/\gamma;\quad \text{stesso risultato fisico}}$

I due osservatori discordano su quale sia “il tempo” e “la distanza”, ma concordano sull’unico fatto oggettivo: il muone raggiunge la superficie.

Collegamenti

Argomenti: Relatività ristretta Concetti: Dilatazione dei tempi · Contrazione delle lunghezze Competenze: Cambio di sistema di riferimento