Cos'è un corpo nero

Si chiama corpo nero (Kirchhoff, 1862) un oggetto ideale che assorbe tutta la radiazione che riceve, di qualsiasi frequenza — da qui il nome: se non riflette nulla, a temperatura ambiente appare nero. Ma un corpo nero non è soltanto un perfetto assorbitore: è anche il miglior emettitore possibile. La ragione fisica è l’equilibrio termico. Se un oggetto sta a temperatura $T$ costante dentro una cavità, deve riemettere esattamente tanta energia quanta ne assorbe, altrimenti si scalderebbe o si raffredderebbe; un assorbitore perfetto è perciò anche un emettitore perfetto.

Il fatto sorprendente è che, per un corpo nero in equilibrio termico a temperatura $T$, l’emissione è una funzione universale di $T$ e della frequenza $f$ (o della lunghezza d’onda $\lambda$): non dipende dal materiale. Ferro, carbone o gas rovente, portati alla stessa temperatura, emettono lo stesso spettro. È questa universalità a rendere il corpo nero un banco di prova cruciale per la teoria: una curva che dipende solo da $T$ e da costanti fondamentali della natura, e da nient’altro.

Un corpo nero ideale non esiste in natura, ma se ne costruisce un’ottima approssimazione con una cavità chiusa dotata di un piccolo foro. Qualsiasi raggio di luce che entra dal foro rimbalza tante volte sulle pareti interne da venire quasi certamente assorbito prima di poter uscire: il foro, visto da fuori, assorbe praticamente tutto ed è quindi nero. Per lo stesso motivo, la radiazione che esce dal foro quando la cavità è calda è proprio quella di un corpo nero ideale.

Un piccolo foro in una cavità chiusa è la migliore realizzazione pratica di un corpo nero: la luce che entra rimbalza sulle pareti finché viene assorbita e quasi mai riesce a uscire.

Ciò che si misura è la densità spettrale di emissione $u(\lambda,T)$: quanta energia il corpo nero irradia in ciascun intervallo di lunghezze d’onda. Sperimentalmente questa funzione mostra tre caratteristiche universali, valide per qualunque corpo nero:

• spettro continuo: $u(\lambda,T)$ non ha righe, ma un andamento continuo con un unico picco a una certa lunghezza d’onda $\lambda_\text{max}$;
• legge di Wien: al crescere della temperatura il picco si sposta verso le lunghezze d’onda corte, secondo $\lambda_\text{max}\cdot T = b$;
• legge di Stefan-Boltzmann: la potenza totale emessa per unità di area, sommata su tutte le frequenze, cresce come $T^4$.

Le prime due dicono dove il corpo emette di più; la terza dice quanto emette in totale.

Formula chiave

$\text{Wien:}\quad \lambda_\text{max}\,T = b \qquad\qquad \text{Stefan-Boltzmann:}\quad \frac{P}{A} = \sigma\,T^4$ Entrambe sono leggi sperimentali, indipendenti da qualunque modello teorico.

Legge di Wien

La lunghezza d’onda a cui il corpo nero emette il massimo della radiazione è inversamente proporzionale alla temperatura: $\ev{\lambda_\text{max}\,T = b \approx 2{,}898\cdot 10^{-3}\;\text{m K}}$ Perciò più un corpo è caldo, più “azzurra” diventa la sua luce.

Legge di Stefan-Boltzmann

La potenza totale (su tutte le frequenze) emessa per unità di area da un corpo nero cresce con la quarta potenza della temperatura assoluta: $\ev{\frac{P}{A} = \sigma\,T^4}, \qquad \sigma \approx 5{,}67\cdot 10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^2\,\text{K}^4}$ La dipendenza da $T^4$ è violenta: raddoppiare la temperatura assoluta significa emettere sedici volte più energia.

Esempio — La superficie del Sole e quella del nostro corpo

Il Sole ha temperatura superficiale $T_\odot \approx 5800\;\text{K}$. Dalla legge di Wien: $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T_\odot} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{5800}\;\text{m} \approx 5\cdot 10^{-7}\;\text{m} = 500\;\text{nm}$ cioè nel visibile (verde-giallo). Non è un caso: i nostri occhi si sono evoluti per essere sensibili proprio dove il Sole emette di più.

Il corpo umano è a $T \approx 310\;\text{K}$, quindi $\lambda_\text{max} = \frac{b}{T} \approx \frac{2{,}898\cdot 10^{-3}}{310}\;\text{m} \approx 9{,}4\;\mu\text{m}$ emettiamo cioè nell’infrarosso lontano. È esattamente ciò che vede una termocamera, e che permette di individuare al buio un essere vivente.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Corpo nero e ipotesi di Planck · Temperatura · Trasmissione del calore

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