L'ipotesi di Planck

Nel dicembre 1900 Max Planck presentò alla Società tedesca di fisica un’ipotesi che lui stesso descrisse come “un atto di disperazione”: aveva provato ogni strada classica senza successo, e alla fine accettò un’idea che gli sembrava priva di senso fisico pur di far tornare i conti. L’ipotesi è questa: gli oscillatori che costituiscono le pareti della cavità non possono possedere energie qualsiasi (continue), ma soltanto multipli interi di una quantità elementare $h\,f$, dove $f$ è la frequenza dell’oscillatore e $h$ una nuova costante della natura. Un oscillatore di frequenza $f$ può quindi avere solo le energie

$E_n = n\,h\,f, \qquad n = 0,1,2,\dots$

La costante $h$, la costante di Planck, vale

$h \approx 6{,}63\cdot 10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}$

ed è così minuscola da spiegare perché la quantizzazione resti invisibile nel mondo macroscopico: il “gradino” di energia $hf$ è enormemente più piccolo delle energie in gioco negli oggetti ordinari, e la scala appare continua.

Principio — Quanto di energia (Planck, 1900)

L’energia di un oscillatore microscopico di frequenza $f$ è quantizzata: può assumere soltanto valori multipli del quanto elementare $h\,f$.

Perché questa ipotesi cura la catastrofe? L’idea fisica è che un modo di alta frequenza (piccola $\lambda$) richiede un quanto $hf$ grande. Ma l’agitazione termica dispone in media solo di un’energia dell’ordine di $k_B T$: se $hf \gg k_B T$, quel modo quasi non riesce mai a raccogliere abbastanza energia nemmeno per il suo primo gradino, e resta di fatto “spento”. L’equipartizione classica, che dava $k_B T$ a ogni modo, viene così soppressa proprio dove esplodeva.

Applicando la statistica di Boltzmann ai modi della cavità con questa sola ipotesi, Planck ottenne la formula spettrale

$u_P(\lambda,T) = \frac{8\pi\,h\,c}{\lambda^5}\cdot\frac{1}{\exp\!\bigl(hc/(\lambda\,k_B T)\bigr) - 1}$

che riproduce esattamente la curva sperimentale, a ogni temperatura. La sua correttezza si vede subito esaminando i due limiti:

$\begin{aligned} &\lambda \text{ grande:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\ll 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)-1 \approx \frac{hc}{\lambda k_B T} \;\Rightarrow\; u_P \approx \frac{8\pi k_B T}{\lambda^4} = u_{RJ} \\ &\lambda \text{ piccola:}\quad \frac{hc}{\lambda k_B T}\gg 1 \;\Rightarrow\; \exp\!\Bigl(\tfrac{hc}{\lambda k_B T}\Bigr)\to\infty \;\Rightarrow\; u_P \to 0 \end{aligned}$

Nel limite delle grandi lunghezze d’onda si recupera la formula classica di Rayleigh-Jeans (dove essa funzionava); nel limite delle piccole lunghezze d’onda l’esponenziale schiaccia $u_P$ a zero, uccidendo la catastrofe ultravioletta. In più, dalla formula di Planck discendono come conseguenze anche le due leggi sperimentali: la legge di Wien massimizzando $u_P$ rispetto a $\lambda$, e la legge di Stefan-Boltzmann integrando $u_P$ su tutte le lunghezze d’onda. Una sola ipotesi spiega tutto ciò che la fisica classica non riusciva a spiegare.

Contesto storico

Planck stesso non interpretò la sua ipotesi come una quantizzazione dell’energia: pensò che la natura “finita” dei quanti fosse una proprietà matematica degli scambi di energia con le pareti, non una proprietà reale dei modi del campo elettromagnetico. Fu Einstein, nel 1905, a compiere il passo radicale — la luce stessa è quantizzata, e l’effetto fotoelettrico ne è la prova diretta. Planck ricevette il Nobel nel 1918, Einstein nel 1921 (per i lavori sull’effetto fotoelettrico, non per la relatività). (Simonyi 2012)

La nascita di una nuova fisica

Nel 1900 nessuno, nemmeno Planck, sospettava che la formula $E = hf$ avrebbe aperto un secolo nuovo. Cinque anni dopo Einstein applicò la stessa idea ai fotoni; otto anni dopo Bohr la usò per gli atomi; venticinque anni dopo Heisenberg, Schrödinger e Dirac scrissero le equazioni della meccanica quantistica; sessant’anni dopo nascevano laser, transistor e microscopi a effetto tunnel. Tutto parte da qui, dalla catastrofe che non si verificava: un esempio iconico di come una piccola discrepanza fra teoria ed esperimento possa aprire una crepa enorme. (Gamow 1968)

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Corpo nero e ipotesi di Planck · Fotone

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