Esercizio svolto — Compton con un fotone da 0,8 MeV

Testo

Un fotone di energia iniziale $E = 0{,}8\;\text{MeV}$ subisce scattering Compton perdendo un terzo della sua energia. Calcolare: (a) l’angolo di diffusione $\theta$; (b) l’energia cinetica e la velocità dell’elettrone; (c) verificare se è lecito usare la formula classica dell’energia cinetica.

Soluzione

Passo 1 — Lunghezze d’onda iniziale e finale. Il fotone perde un terzo dell’energia, quindi $E' = \tfrac{2}{3}E$. Poiché $\lambda = hc/E$, la lunghezza d’onda cresce di un fattore $3/2$:

$\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{1240\;\text{eV·nm}}{0{,}8\cdot 10^6\;\text{eV}} \approx 1{,}55\cdot 10^{-3}\;\text{nm} = 1{,}55\;\text{pm}, \qquad \lambda' = \tfrac{3}{2}\lambda \approx 2{,}33\;\text{pm}$

Passo 2 — Angolo di diffusione (formula di Compton). Con $\lambda_C = h/(m_e c) = 2{,}43\;\text{pm}$:

$1 - \cos\theta = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda_C} = \frac{0{,}78\;\text{pm}}{2{,}43\;\text{pm}} \approx 0{,}32 \;\Rightarrow\; \cos\theta \approx 0{,}68$

$\ev{\theta \approx 47^\circ}$

Passo 3 — Energia cinetica dell’elettrone. Per conservazione dell’energia l’elettrone acquista ciò che il fotone perde:

$K_e = E - E' = 0{,}8 - 0{,}53 \approx 0{,}27\;\text{MeV}$

Passo 4 — Classico o relativistico? Con la formula classica $K_e = \tfrac{1}{2}m_e v^2$ si otterrebbe

$v = \sqrt{\frac{2K_e}{m_e}} \approx 3{,}08\cdot 10^8\;\text{m/s} > c \quad \text{(impossibile!)}$

Bisogna usare la formula relativistica $K_e = (\gamma - 1)m_e c^2$. Con $m_e c^2 = 0{,}511\;\text{MeV}$:

$\gamma = 1 + \frac{K_e}{m_e c^2} = 1 + \frac{0{,}27}{0{,}511} \approx 1{,}53$

$\ev{v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2} \approx 2{,}3\cdot 10^8\;\text{m/s} \approx 0{,}77\,c}$

È un ottimo esempio di come la cinematica classica fallisca quando l’energia cinetica diventa confrontabile con $m_e c^2 = 511\;\text{keV}$.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Effetto Compton · Fotone · Equivalenza massa-energia