L'ipotesi di de Broglie

Se la luce, che pensavamo un’onda, può comportarsi da particella, non dovrebbe valere anche il contrario? Nel 1924 Louis de Broglie fece questo salto di simmetria nella sua tesi di dottorato: anche una particella dotata di massa deve poter mostrare un comportamento ondulatorio. A ogni particella, propose, è associata un’onda la cui lunghezza è fissata dalla sua quantità di moto.

L’idea nasce invertendo la relazione del fotone $p = h/\lambda$. Per il fotone la quantità di moto determina la lunghezza d’onda; de Broglie postula che la stessa relazione valga per qualunque particella, letta al contrario: nota la quantità di moto $p = mv$ (nel limite non relativistico $v \ll c$), l’onda associata ha lunghezza

$\lambda = \frac{h}{p}.$

Formula chiave

A ogni particella di quantità di moto $p = mv$ è associata un’onda di materia di lunghezza $\ev{\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{m\,v}}$

La conferma sperimentale arrivò nel 1927 con Davisson e Germer: un fascio di elettroni fatto incidere su un cristallo di nichel produce una figura di diffrazione esattamente come la luce attraverso un reticolo, con massimi e minimi nelle posizioni previste usando la lunghezza d’onda di de Broglie. Gli elettroni — particelle per eccellenza — diffrangevano come onde. Su questo principio si basa oggi il microscopio elettronico: poiché la lunghezza d’onda degli elettroni veloci è migliaia di volte più piccola di quella della luce visibile, esso raggiunge un potere risolutivo enormemente superiore a quello di un microscopio ottico.

Perché allora non vediamo mai una pallina o una persona comportarsi come un’onda? Perché la costante di Planck è piccolissima: per oggetti macroscopici $\lambda$ risulta talmente minuscola da rendere ogni effetto ondulatorio del tutto inosservabile. La natura ondulatoria si manifesta solo quando $\lambda$ è confrontabile con le dimensioni in gioco.

Esempio — Quando la natura ondulatoria si fa sentire

La regola pratica: una particella si comporta da onda quando la si confina in uno spazio piccolo rispetto alla sua $\lambda$ di de Broglie.

• Pallina da baseball ($m = 0{,}15$ kg, $v = 40$ m/s): $\lambda \approx 10^{-34}$ m, molto più piccola di un nucleo atomico. La natura ondulatoria è del tutto inosservabile: la pallina è sempre una particella classica.
• Elettrone da 50 eV ($v \approx 4\cdot 10^6$ m/s): $\lambda \approx 1{,}7\cdot 10^{-10}$ m, dell’ordine delle distanze atomiche. La natura ondulatoria si manifesta chiaramente — è la base del microscopio elettronico e della diffrazione di Davisson-Germer.
• Elettrone in un atomo: $\lambda$ confrontabile con la dimensione dell’atomo stesso. Non può essere trattato come una particella classica: è qui che entra in gioco la quantizzazione dei livelli energetici.

Il confronto è illuminante: passando dalla pallina all’elettrone atomico la lunghezza d’onda cresce di oltre venti ordini di grandezza rispetto alla dimensione del sistema, e con essa la rilevanza degli effetti quantistici. Il mondo ci appare “classico” non perché la meccanica quantistica smetta di valere, ma perché alle nostre scale $\lambda$ è irrisoria.

Collegamenti

Argomenti: Fisica quantistica Concetti: Lunghezza d’onda di de Broglie · Dualismo onda-particella · Quantità di moto

Esercizi collegati: Problema — Perché l’atomo non collassa (onda stazionaria) · Problema — de Broglie di un elettrone a 100 V · Raccordo Malus e singolo fotone