Decadimento radioattivo: nucleare, cinetica e relatività

Testo

Un nucleo di $^{210}$Po (massa $\approx 209{,}982\;u$) decade per emissione $\alpha$ in $^{206}$Pb (massa $\approx 205{,}974\;u$) più una particella $\alpha$ (massa $\approx 4{,}0026\;u$). Il nucleo iniziale è a riposo. Determinare: (a) l’energia liberata, (b) la velocità della particella $\alpha$, (c) se la trattazione relativistica è necessaria.

Soluzione

(a) Energia liberata (difetto di massa). L’energia proviene dalla massa che “sparisce” nel decadimento (equivalenza massa-energia di Einstein). Il difetto di massa è: $\Delta m = m(^{210}\text{Po}) - m(^{206}\text{Pb}) - m(\alpha) = 209{,}982 - 205{,}974 - 4{,}0026 = 0{,}0054\;u$ Convertendo con $1\;u \approx 931{,}5$ MeV$/c^2$: $\ev{Q = \Delta m\, c^2 \approx 0{,}0054 \times 931{,}5 \approx 5{,}0\;\text{MeV}}$

(b) Velocità della particella $\alpha$. Il nucleo di partenza è fermo, quindi la quantità di moto totale si conserva ed è nulla: i due frammenti rinculano con quantità di moto opposte, $p_\alpha = p_\text{Pb}$. L’energia $Q$ si ripartisce in modo inversamente proporzionale alle masse, così l’$\alpha$ (più leggero) prende la quota maggiore: $E_\alpha \approx Q\,\frac{m_\text{Pb}}{m_\text{Pb}+m_\alpha} = 5{,}0\times\frac{205{,}974}{209{,}977} \approx 4{,}93\;\text{MeV}$ Uso la formula cinetica classica $E_\alpha = \tfrac12 m_\alpha v_\alpha^2$ (verifico dopo che è lecita). Con $m_\alpha = 4{,}0026\,u = 6{,}65\cdot 10^{-27}\;$kg e $E_\alpha = 4{,}93\;\text{MeV} = 7{,}90\cdot 10^{-13}\;$J: $v_\alpha = \sqrt{\frac{2E_\alpha}{m_\alpha}} = \sqrt{\frac{2\cdot 7{,}90\cdot 10^{-13}}{6{,}65\cdot 10^{-27}}} \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}$ $\ev{v_\alpha \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\;\text{m/s}}$

(c) Serve la relatività? Il rapporto con la velocità della luce è $\frac{v_\alpha}{c} \approx \frac{1{,}5\cdot 10^{7}}{3{,}0\cdot 10^{8}} \approx 0{,}05$ cioè circa il 5% di $c$. Il fattore di Lorentz differisce dall’unità di appena $\sim 0{,}1\%$: la formula classica $E_k=\tfrac12 m v^2$ è più che adeguata. La relatività entra invece in modo essenziale nel punto (a), dove $Q = \Delta m\,c^2$: senza equivalenza massa-energia il decadimento non si spiegherebbe affatto.

Le connessioni: fisica nucleare (cap. 22) per il difetto di massa, conservazione della quantità di moto (cap. 5) per la ripartizione dell’energia, equivalenza massa-energia (cap. 20) per la sorgente stessa di $Q$.

Collegamenti

Argomenti: Fisica nucleare · Relatività ristretta Concetti: Decadimento radioattivo · Energia di legame nucleare · Equivalenza massa-energia · Conservazione della quantità di moto