Notazione scientifica e ordini di grandezza

Quando i numeri sono molto grandi o molto piccoli, scriverli per esteso diventa scomodo e soggetto a errori (basta un errore nel contare gli zeri). Conviene allora usare la notazione scientifica: ogni numero si scrive nella forma

$a\cdot 10^n \qquad \text{con}\quad 1 \leq a < 10,$

dove $a$ è la mantissa (un numero con una sola cifra prima della virgola) e $n$ è un intero, positivo per i numeri grandi e negativo per quelli piccoli. Qualche esempio dalle scale della natura:

• Massa dell’elettrone: $9{,}1\cdot 10^{-31}\;\text{kg}$
• Raggio del nucleo atomico: $\sim 10^{-15}\;\text{m}$
• Raggio della Terra: $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$
• Distanza Terra-Sole: $1{,}5\cdot 10^{11}\;\text{m}$
• Massa del Sole: $2\cdot 10^{30}\;\text{kg}$

L’ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10 più vicina. È un modo rapido di dire “quanto grande” è una quantità, ignorando i dettagli. Ad esempio, il raggio della Terra è dell’ordine di $10^7\;\text{m}$: più precisamente vale $6{,}4\cdot 10^6\;\text{m}$, ma poiché $6{,}4 > \sqrt{10} \approx 3{,}2$ la mantissa “arrotonda” verso l’alto, e la potenza di 10 più vicina è $10^7$ e non $10^6$. Il criterio, in generale, è proprio questo: si confronta la mantissa con $\sqrt{10}\approx 3{,}2$ per decidere verso quale potenza arrotondare.

Sensibilità agli ordini di grandezza

In fisica è fondamentale sviluppare un‘“intuizione” per gli ordini di grandezza. Se un calcolo dà come risultato la massa della Luna $= 5\;\text{kg}$, si capisce subito che c’è un errore senza nemmeno rifare i conti: il risultato deve essere dell’ordine di $10^{22}\;\text{kg}$. Confrontare l’ordine di grandezza di un risultato con quello che ci si aspetta è il primo, rapidissimo controllo di ogni calcolo.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Notazione scientifica e ordini di grandezza Competenze: Stime di Fermi

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