Percentuali e incertezza nei sondaggi

Una percentuale è semplicemente una frazione scritta su 100: $54{,}2\% = 54{,}2/100 = 0{,}542$. Per passare dalla percentuale al valore assoluto si moltiplica per il totale — su 24 studenti, il $54{,}2\%$ è $24\cdot 0{,}542 \approx 13$ studenti. Viceversa, per passare da un conteggio a una percentuale si usa

$\text{percentuale} = \frac{\text{conteggio}}{\text{totale}}\cdot 100.$

Un risultato importante, e spesso trascurato, è che una percentuale calcolata su un campione finito di $N$ individui è per forza affetta da incertezza: tanto più piccolo è $N$, tanto più la stima può variare se ripetessimo il sondaggio su un altro gruppo. La statistica elementare fornisce una formula per quantificare questa incertezza.

Principio — Incertezza su una proporzione

$\ev{\text{err}(p) = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{N}}}$ dove $p$ è la proporzione (un numero tra 0 e 1, non in percentuale) e $N$ è la dimensione del campione.

Formula chiave

Più grande è il campione $N$, più piccolo è l’errore sulla percentuale: l’incertezza decresce come $1/\sqrt{N}$.

La dipendenza da $1/\sqrt{N}$ spiega perché per dimezzare l’incertezza di un sondaggio bisogna quadruplicare il numero di intervistati. È anche il motivo per cui i sondaggi seri coinvolgono migliaia di persone: solo così l’errore scende a pochi punti percentuali.

Consideriamo una classe di 24 studenti a cui si chiede: “Preferisci i cani o i gatti?”. Rispondono 13 cani e 11 gatti. La proporzione a favore dei cani è $p = 13/24 = 0{,}542$, ovvero $54{,}2\%$, con incertezza

$\text{err}(p) = \sqrt{\frac{0{,}542\cdot 0{,}458}{24}} \approx \sqrt{\frac{0{,}248}{24}} \approx 0{,}102,$

cioè $10{,}2\%$. I cani vincono con $(54{,}2 \pm 10{,}2)\%$, un intervallo $[\,44{,}1\%\;;\;64{,}3\%\,]$: per un campione così piccolo l’incertezza è enorme, e con soli 24 studenti non è statisticamente chiaro se la maggioranza preferisca davvero i cani.

Sanity check con campioni piccoli

Qualche verifica sulla formula:

• 3 rossi su 5 totali: $p=0{,}6$, err $\approx 22\%$.
• 2 verdi su 3 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 27\%$.
• 8 favorevoli su 12 totali: $p=0{,}67$, err $\approx 14\%$.

Sotto i 20 campioni l’errore su una proporzione è dell’ordine del $20\%$ o più: una regola pratica da ricordare quando si leggono i sondaggi elettorali sui giornali.

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Concetti: Cifre significative e incertezza Competenze: Propagazione degli errori

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