Trigonometria e misurazioni indirette

Molte grandezze non si possono misurare direttamente: l’altezza della Torre Eiffel, la distanza di una nave all’orizzonte, l’angolo del Sole sopra l’orizzonte. Si possono però calcolare usando la trigonometria: basta misurare qualcosa di più facile — l’ombra di un oggetto, una distanza al suolo, un angolo con un inclinometro — e applicare le relazioni sui triangoli rettangoli.

Formula chiave — Triangolo rettangolo

Dato un triangolo rettangolo con ipotenusa $i$, cateto opposto $o$ e cateto adiacente $a$ rispetto all’angolo $\alpha$: $\sin\alpha = \frac{o}{i} \qquad \cos\alpha = \frac{a}{i} \qquad \tan\alpha = \frac{o}{a}$

La strategia è sempre la stessa: si individua un triangolo rettangolo in cui una grandezza incognita è un cateto (o l’ipotenusa), si misurano un lato accessibile e un angolo, e si ricava l’incognita invertendo la relazione trigonometrica opportuna. La tangente è particolarmente utile quando si conoscono i due cateti, perché lega direttamente l’angolo al loro rapporto senza bisogno dell’ipotenusa.

Contesto storico — Eratostene e la circonferenza della Terra

Nel 240 a.C. il greco Eratostene, bibliotecario di Alessandria d’Egitto, sapeva che a mezzogiorno del solstizio d’estate il Sole illuminava verticalmente il fondo di un pozzo a Syene (oggi Assuan), a sud di Alessandria. Nello stesso istante, ad Alessandria, un obelisco proiettava un’ombra corrispondente a un angolo di $7{,}2^\circ$ rispetto alla verticale.

Se la distanza Syene–Alessandria era di circa 5000 stadi, e la differenza di angolo valeva $7{,}2^\circ/360^\circ = 1/50$ del giro completo, allora la circonferenza della Terra doveva essere $50 \cdot 5000 = 250\,000$ stadi, ovvero circa $40\,000\;\text{km}$. Il valore corretto è $40\,075\;\text{km}$: una stima sorprendentemente precisa, ottenuta con i soli strumenti dell’antichità (Simonyi 2012, cap. 1; vedi Riferimenti bibliografici).

Collegamenti

Argomenti: Grandezze fisiche e misura Competenze: Uso della trigonometria

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