Esercizio svolto — Sistema con due masse e puleggia

Testo

Una massa $m_1 = 10\;\text{kg}$ pende da una fune collegata, tramite una puleggia, all’estremità di una sbarra rigida orizzontale lunga $L = 4\;\text{m}$. All’altro estremo della sbarra pende una massa $m_2 = 20\;\text{kg}$. La sbarra è sostenuta da una forza $\vv F$ applicata a $60^\circ$. Trovare $F$ per l’equilibrio.

Modello adottato. Il testo lascia la geometria parzialmente indeterminata; adottiamo il modello più naturale, coerente con i dati. La sbarra è incernierata alla parete nell’estremo sinistro $O$; all’estremo destro $B$ (a $L = 4\;\text{m}$ da $O$) agiscono verso il basso sia il peso di $m_2$, sia la tensione della fune che, rinviata dalla puleggia posta in $B$, sostiene $m_1$. La forza di sostegno $\vv F$ è applicata in $B$ e forma un angolo di $60^\circ$ con la sbarra. Il peso proprio della sbarra è trascurabile.

Soluzione

Passo 1 — La fune di $m_1$. La fune che regge $m_1$ ha, per l’equilibrio del blocco appeso, tensione pari al suo peso; la puleggia ne cambia solo la direzione, non il modulo:

$t_1 = m_1 g = 10\cdot 9{,}81 = 98{,}1\;\text{N}$

Passo 2 — I carichi verso il basso in $B$. All’estremo $B$ agiscono verso il basso la tensione $t_1$ e il peso di $m_2$:

$P_2 = m_2 g = 20\cdot 9{,}81 = 196{,}2\;\text{N}, \qquad F_{\downarrow} = t_1 + P_2 = 98{,}1 + 196{,}2 = 294{,}3\;\text{N}$

Passo 3 — Equilibrio dei momenti (polo in $O$). Scegliendo il polo nella cerniera $O$ si eliminano le reazioni vincolari. Peso e forza $\vv F$ sono entrambi applicati in $B$, a braccio $L$; conta la componente verticale di $\vv F$, cioè $F\sin 60^\circ$:

$F\sin 60^\circ \cdot L - F_{\downarrow}\cdot L = 0 \;\Rightarrow\; F\sin 60^\circ = 294{,}3\;\text{N}$

Passo 4 — Calcolo di $F$.

$F = \frac{294{,}3}{\sin 60^\circ} = \frac{294{,}3}{0{,}866} \approx 339{,}8\;\text{N}$

$\ev{F \approx 3{,}4\cdot 10^{2}\;\text{N}}$

Verifica orizzontale. La componente orizzontale $F\cos 60^\circ = 339{,}8\cdot 0{,}5 \approx 169{,}9\;\text{N}$ è equilibrata dalla reazione orizzontale della cerniera in $O$: il sistema è quindi in equilibrio completo.

Nota: se si assumesse invece che la tensione $t_1$ non gravi sull’estremo $B$ ma sia applicata altrove, il valore numerico di $F$ cambierebbe; il metodo (bilancio di forze e momenti con scelta furba del polo) resta identico.

Collegamenti

Argomenti: Statica ed equilibrio Concetti: Equilibrio statico · Momento di una forza · Tensione · Forza peso Competenze: Bilancio dei momenti · Scelta del polo · Scomposizione vettoriale Metodi: Scomposizione in componenti cartesiane Oggetti: Puleggia · Asta