Esercizio svolto — Un pezzo di legno in acqua con benzina

Testo

Un recipiente di area $2\;\text{m}^2$ contiene $1\;\text{m}$ di acqua ($\rho_a = 1000\;\text{kg/m}^3$) e sopra $1\;\text{m}$ di benzina ($\rho_b = 600\;\text{kg/m}^3$). Un pezzo di legno cubico di lato $0{,}1\;\text{m}$ (di area $A = 0{,}01\;\text{m}^2$) con densità $\rho_l = 700\;\text{kg/m}^3$ viene immerso. A che livello galleggia?

Soluzione

Passo 1 — Dove si ferma il legno. Il legno ha densità maggiore della benzina ($700 > 600$), quindi affonda sotto lo strato di benzina; ma ha densità minore dell’acqua ($700 < 1000$), quindi non affonda completamente. Si assesta a cavallo dell’interfaccia. Sia $x$ la frazione di legno immersa nell’acqua e $1-x$ quella in benzina.

Passo 2 — Equilibrio delle forze. Il peso del legno è bilanciato dalle due spinte di Archimede (una per ciascun fluido spostato):

$\rho_l V g = \rho_a\,x V g + \rho_b\,(1-x) V g$

Passo 3 — Semplificazione. Dividendo per $V g$ si ottiene una relazione tra sole densità:

$\rho_l = \rho_a\,x + \rho_b\,(1-x) \;\Rightarrow\; x = \frac{\rho_l - \rho_b}{\rho_a - \rho_b}$

Passo 4 — Calcolo.

$x = \frac{700 - 600}{1000 - 600} = \frac{100}{400} = 0{,}25$

$\ev{x = 0{,}25 \;\Rightarrow\; 25\%\ \text{sott'acqua},\ 75\%\ \text{nella benzina}}$

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica Concetti: Principio di Archimede · Forza peso · Equilibrio statico