Limiti del modello e regime turbolento

Il teorema di Bernoulli vale per un fluido ideale: incomprimibile, non viscoso, in moto stazionario lungo una linea di flusso. I fluidi reali, però, hanno viscosità: gli strati di fluido in moto relativo si ostacolano a vicenda per attrito interno, dissipando energia. Per stabilire quando la viscosità domina, o quando invece è trascurabile, si introduce un numero puro, il numero di Reynolds:

$\ev{\text{Re} = \frac{\rho\,v\,L}{\eta}}$

dove $L$ è una scala caratteristica del problema (il diametro del tubo, la corda dell’ala) ed $\eta$ è la viscosità dinamica del fluido. Il numero di Reynolds confronta l’importanza delle forze d’inerzia con quella delle forze viscose: quando è piccolo dominano le seconde, quando è grande dominano le prime. A seconda del suo valore si distinguono tre regimi di moto.

• Laminare ($\text{Re} \lesssim 2000$): il fluido scorre a strati paralleli ben ordinati e il teorema di Bernoulli funziona molto bene.
• Transizione ($2000 \lesssim \text{Re} \lesssim 4000$): il moto diventa irregolare, con vortici intermittenti che compaiono e scompaiono.
• Turbolento ($\text{Re} \gtrsim 4000$): si formano vortici su tutte le scale, l’energia cinetica viene dissipata in calore e Bernoulli fallisce.

La tabella seguente mostra quanto vari il numero di Reynolds nelle situazioni più diverse, dal nuoto microscopico di uno spermatozoo al volo di un aereo di linea.

Situazione	$\text{Re}$ tipico
Spermatozoo che nuota	$\sim 10^{-2}$
Sangue nelle arteriole	$\sim 1$
Sangue nell’aorta	$\sim 10^3$
Aria in una stanza	$\sim 10^4$
Ala di Boeing 747	$\sim 10^8$

Sintesi

Continuità: $A\,v = \text{cost.}$ — Bernoulli: $P + \tfrac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{cost.}$ — Reynolds piccolo: fluido viscoso, moto a lamine; Reynolds grande: moto turbolento. Effetto Venturi: dove il fluido è più veloce, la pressione è minore.

Collegamenti

Argomenti: Fluidostatica e fluidodinamica

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